うなりの振動数と音の合成

問題設定：振動数がわずかに異なる2つのおんさ A, B がある。それぞれの振動数は $f_A$ [Hz], $f_B$ [Hz]（$f_A > f_B$）。おんさを同時に鳴らしてうなりを観測する。

(1) うなりの回数を求める式：

1秒間のうなりの回数 \(n\) は、2つの振動数の差で決まります：

$$n = |f_A - f_B| \text{ [回/s]}$$

(2) 時間 \(T\) [s] 間にうなりが \(N\) 回聞こえたとき：

1秒あたりのうなりの回数は \(N/T\) 回/s なので：

$$|f_A - f_B| = \frac{N}{T}$$

(3) \(f_A = 500\) Hz, \(f_B = 506\) Hz のとき：

1秒間のうなりの回数は：

$$n = |f_A - f_B| = |500 - 506| = 6 \text{ 回/s}$$

(4) \(N\) を \(f_A\), \(f_B\) を用いて表す：

\(T\) 秒間のうなりの回数は、1秒あたりの回数 \(\times\) 時間なので：

$$N = |f_A - f_B| \cdot T$$

補足：うなりの数式的理解

振幅 \(A\) の2つの音 \(y_1 = A\sin 2\pi f_1 t\)、\(y_2 = A\sin 2\pi f_2 t\) を合成すると：

$$y_1 + y_2 = 2A\cos\!\left(\pi(f_1 - f_2)t\right)\sin\!\left(\pi(f_1 + f_2)t\right)$$

振幅部分 \(2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)\) の絶対値が周期 \(1/|f_1 - f_2|\) で変動するため、1秒間に \(|f_1 - f_2|\) 回のうなりが聞こえます。