おんさと弦の共振（共鳴）

問題設定：弦の長さ $L = 1.2$ m、線密度 $\rho = 4.9 \times 10^{-3}$ kg/m、張力 $S$ [N]（質量 2.0 kg のおもり）。おんさの振動数 60 Hz で共振させる。弦には 3 個の腹ができた。

(1) 弦を伝わる波の速さ \(v\)：

弦の \(n\) 倍振動の固有振動数は次の式で表されます：

$$f_n = \frac{nv}{2L}$$

腹が 3 個 → 3 倍振動（\(n = 3\)）で、おんさの振動数 \(f = 60\) Hz と共振しています。\(f_3 = f\) として \(v\) を求めます：

$$60 = \frac{3v}{2 \times 1.2} = \frac{3v}{2.4}$$ $$v = \frac{60 \times 2.4}{3} = \frac{144}{3} = 48 \text{ m/s}$$

(2) 張力 \(S\) の計算：

弦を伝わる横波の速さと張力・線密度の関係式：

$$v = \sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \Rightarrow \quad S = \rho v^2$$

\(\rho = 4.9 \times 10^{-3}\) kg/m、\(v = 48\) m/s を代入：

$$S = 4.9 \times 10^{-3} \times 48^2 = 4.9 \times 10^{-3} \times 2304 \fallingdotseq 11.3 \text{ N} \fallingdotseq 11 \text{ N}$$

補足：張力とおもりの質量の関係

おもりの質量 $m$ から張力を求める場合：$S = mg$。逆に $m = S/g = 11.3/9.8 \fallingdotseq 1.15$ kg。これは問題で与えられた 2.0 kg とは異なる場合、滑車の摩擦等の影響を考慮する必要があります。