開管・閉管の共鳴と開口端補正

問題設定：両端が開いた管（開管）と片端が閉じた管（閉管）の共鳴について、開口端補正 $\Delta$ を考慮して共鳴の振動数を求める。

(1) 開管の共鳴振動数：

開管では両端が腹。開口端補正により実効的な管の長さは $L' = L + 2\Delta$ となる。$n$ 倍振動の定在波の条件は、実効長が半波長の $n$ 倍：

$$L + 2\Delta = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda_n = \frac{2(L + 2\Delta)}{n}$$

$v = f\lambda$ より振動数を求めると：

$$f_n = \frac{V}{\lambda_n} = \frac{nV}{2(L + 2\Delta)} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

(2) 閉管の共鳴振動数：

閉管では閉端が節、開口端が腹。実効長は $L' = L + \Delta$。定在波の条件は、実効長が $\lambda/4$ の奇数倍：

$$L + \Delta = (2m - 1) \cdot \frac{\lambda_m}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda_m = \frac{4(L + \Delta)}{2m - 1}$$

$v = f\lambda$ より振動数を求めると：

$$f_m = \frac{V}{\lambda_m} = \frac{(2m-1)V}{4(L + \Delta)} \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)$$

閉管では奇数倍振動のみが生じる点に注意。

補足：開口端補正 $\Delta$ の大きさ

開口端補正 $\Delta$ は管の半径 $r$ に比例し、$\Delta \fallingdotseq 0.6r$ です。共鳴実験で隣り合う共鳴位置の差を使えば $\Delta$ の影響なしに波長を求められますが、$\Delta$ 自体を求めるには最初の共鳴位置を使います。