開口端補正の決定

問題設定：閉管の共鳴実験で、1回目の共鳴が気柱の長さ $L_1 = 14.6$ cm、2回目が $L_2 = 50.2$ cm のとき、開口端補正と音速を求める。おんさの振動数 $f$ Hz。

波長の決定：

閉管の共鳴実験では、隣り合う共鳴位置の差が半波長に等しいので：

$$\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1 = 50.2 - 14.6 = 35.6 \text{ cm}$$ $$\lambda = 2 \times 35.6 = 71.2 \text{ cm} = 0.712 \text{ m}$$

開口端補正 $\Delta$：

1回目の共鳴条件（基本振動）：$L_1 + \Delta = \lambda/4$ より

$$\Delta = \frac{\lambda}{4} - L_1 = \frac{71.2}{4} - 14.6 = 17.8 - 14.6 = 3.2 \text{ cm}$$

音速：

$$V = f\lambda = f \times 0.712 \text{ m/s}$$

例えば $f = 500$ Hz ならば：

$$V = 500 \times 0.712 = 356 \text{ m/s}$$

別解：$\Delta$ を $L_1, L_2$ だけで表す

$L_1 + \Delta = \lambda/4$、$L_2 + \Delta = 3\lambda/4$ より、引き算すると $L_2 - L_1 = \lambda/2$。

$\lambda/4 = (L_2 - L_1)/2$ を代入：

$$\Delta = \frac{L_2 - L_1}{2} - L_1 = \frac{L_2 - 3L_1}{2} = \frac{50.2 - 3 \times 14.6}{2} = \frac{50.2 - 43.8}{2} = 3.2 \text{ cm}$$