気柱の共鳴と開口端補正の応用

問題設定：ガラス管内にピストンを入れ、開口端にスピーカーを置いて気柱の共鳴実験を行う。ピストンの位置を変えて共鳴する位置を探す。管の位置 O, A, B, C での密度変化を考える。開口端補正 $\Delta$ も考慮する。

(1) 開口端補正 $\Delta$：

ピストンの位置を変えて共鳴する気柱の長さを $L_1$, $L_2$ とします。開口端補正 $\Delta$ を考慮した共鳴条件は：

$$L_1 + \Delta = \frac{\lambda}{4} \quad \cdots (i)$$ $$L_2 + \Delta = \frac{3\lambda}{4} \quad \cdots (ii)$$

(ii) $-$ (i) より $\Delta$ を消去して波長を求めます：

$$L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2(L_2 - L_1)$$

(i) より $\lambda/4 = (L_2 - L_1)/2$ を代入すると：

$$\Delta = \frac{L_2 - L_1}{2} - L_1 = \frac{L_2 - L_1 - 2L_1}{2} = \frac{L_2 - 3L_1}{2}$$

(2) 各位置の密度変化：

定在波中の密度（圧力）は変位と位相が $\pi/2$ ずれた分布をします：

• 閉端（ピストン位置）：変位の節 → 密度変化が最大
• 開口端：変位の腹 → 密度変化がゼロ（密度の節）
• 中間位置：変位の腹の位置で密度変化ゼロ、変位の節の位置で密度変化最大

(3) 次に共鳴が起こる振動数：

閉管では奇数倍振動のみが共鳴するため、基本振動数 $f_1$ の次は 3 倍振動です。気柱の長さ $L$ を固定したまま振動数を上げると：

$$L + \Delta = \frac{3\lambda_3}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda_3 = \frac{4(L + \Delta)}{3}$$

基本振動のとき $\lambda_1 = 4(L + \Delta)$ なので：

$$f_3 = \frac{V}{\lambda_3} = \frac{3V}{4(L + \Delta)} = 3 \times \frac{V}{4(L + \Delta)} = 3f_1$$

補足：波の独立性と重ね合わせの原理

2つの波が出会っても互いに影響を及ぼしません（波の独立性）。重なっている部分では変位の和が合成波の変位になります。