基本例題58 気柱の振動

設問(1)　音の速さ

直感的理解
閉管（一端が閉じた管）では、閉端が節・開口端が腹になります。水面を下げて気柱を長くすると、次の共鳴点は半波長分だけ長い位置で起こります。つまり 2つの共鳴点の差 $= \dfrac{\lambda}{2}$ という関係を使えば、波長がわかります。

設定：$f = 500$ Hz、1回目の共鳴 $l_1 = 16.4$ cm、2回目の共鳴 $l_2 = 50.2$ cm。

立式：1回目と2回目の共鳴の差が半波長に等しいので：

$$\frac{\lambda}{2} = l_2 - l_1 = 50.2 - 16.4 = 33.8 \text{ cm}$$ $$\lambda = 2 \times 33.8 = 67.6 \text{ cm} = 0.676 \text{ m}$$

音の速さ：

$$V = f\lambda = 500 \times 0.676 = 338 \text{ m/s}$$
答え：
$$V = 338 \text{ m/s}$$
Point

共鳴実験で隣り合う共鳴点の気柱の長さの差 $= \dfrac{\lambda}{2}$。開口端補正に依存せず波長を正確に求められる。

設問(2)　開口端補正

直感的理解
開口端の腹の位置は管口よりわずかに外側にあります。これが「開口端補正 $\Delta l$」です。第1共鳴のとき、節（水面）から腹（管口の少し外）までが $\dfrac{\lambda}{4}$ なので、$\dfrac{\lambda}{4} = l_1 + \Delta l$ という関係が成り立ちます。

設定：$\lambda = 67.6$ cm、$l_1 = 16.4$ cm。第1共鳴では気柱の長さに開口端補正を加えたものが $\dfrac{\lambda}{4}$ に等しい。

立式：第1共鳴のとき $\dfrac{\lambda}{4} = l_1 + \Delta l$ なので：

$$\Delta l = \frac{\lambda}{4} - l_1 = \frac{67.6}{4} - 16.4 = 16.9 - 16.4 = 0.5 \text{ cm}$$

よって、管口の腹の位置は、管の上端より 0.5 cm だけ上にあります。

答え：
管口の腹の位置は、管の上端より $0.5$ cm だけ上にある。
補足：第2共鳴からの検算

第2共鳴のとき $\dfrac{3\lambda}{4} = l_2 + \Delta l$ が成り立つことを確認します。

$$\frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 67.6}{4} = 50.7 \text{ cm}$$ $$l_2 + \Delta l = 50.2 + 0.5 = 50.7 \text{ cm} \quad \checkmark$$
Point

閉管の第 $n$ 共鳴：$\dfrac{(2n-1)\lambda}{4} = l_n + \Delta l$。開口端補正 $\Delta l$ は腹が管口より外側にずれる量。隣り合う共鳴点の差から $\lambda$ を求めれば、$\Delta l$ に影響されない正確な値が得られる。