A点通過時($\theta = 60°$):飛行方向と視線方向のなす角が $60°$。視線方向の速度成分 $= v_\text{S}\cos 60° = 20 \times 0.5 = 10$ m/s(近づく)。
A点では元の振動数より高い音が聞こえる。
B点通過時($\theta = 90°$):視線方向の速度成分 $= v_\text{S}\cos 90° = 0$。
B点(真上)では元の振動数と同じ音が聞こえる。
斜め方向のドップラー効果:$f' = \dfrac{V}{V - v_\text{S}\cos\theta} f$。真上($\theta = 90°$)を通過する瞬間はドップラー効果なし。
B点通過後、$\theta > 90°$。$\cos\theta < 0$ となるため:
$$f' = \frac{V}{V - v_\text{S}\cos\theta} f = \frac{V}{V + v_\text{S}|\cos\theta|} f < f$$飛行機が遠ざかるにつれて $\theta \to 180°$(視線方向と飛行方向が反対)に近づき、振動数は単調に減少します。
途中で $\theta$ が $90°$ を超えた瞬間に振動数は $594$ Hz を下回り、その後低くなりその後低くなる(選択肢③)。
遠方から近づく飛行機は最初高い音 → 真上で元の音 → 遠ざかって低い音。振動数は連続的に変化する。
$\theta \to 180°$ のとき:
$$f'_{\min} = \frac{V}{V - v_\text{S}\cos 180°} f = \frac{V}{V + v_\text{S}} f = \frac{340}{340 + 20} \times 594 = \frac{340}{360} \times 594$$ $$f'_{\min} = \frac{340}{360} \times 594 = 561 \text{ Hz}$$$\theta \to 0°$ のとき(飛行機が正面から近づく):
$$f'_{\max} = \frac{V}{V - v_\text{S}} f = \frac{340}{340 - 20} \times 594 = \frac{340}{320} \times 594 = 631 \text{ Hz}$$最大 $631$ Hz から最小 $561$ Hz まで、$594$ Hz を中心に上下に変化します。
斜めドップラー効果の極値:$f'_{\max} = \dfrac{V}{V - v_\text{S}} f$(正面)、$f'_{\min} = \dfrac{V}{V + v_\text{S}} f$(背面)。