基本問題316 ドップラー効果

（1）観測者が聞く音の波長と振動数

直感的理解
音源が近づくとき、音源が出した波の「先端」を音源自身が追いかけるため、波が圧縮されて波長が短くなります。波長が短い＝振動数が大きい＝高い音に聞こえます。遠ざかるときはその逆で、波長が伸びて低い音に聞こえます。

自動車（音源）が振動数 $f_0 = 640$ Hz の音を出しながら速さ $v_s = 30$ m/s で静止した観測者に近づく場合を考えます。音速 $V = 340$ m/s。

（1）観測者が聞く音の波長：

音源が速さ $v_s$ で近づくとき、前方では波長が縮みます：

$$\lambda' = \frac{V - v_s}{f_0} = \frac{340 - 30}{640} = \frac{310}{640} = \frac{31}{64} \fallingdotseq 0.48 \text{ m}$$

（2）観測者が聞く音の振動数：

観測者は静止しているので $v_o = 0$。ドップラー効果の公式より：

$$f' = \frac{V}{V - v_s} f_0 = \frac{340}{340 - 30} \times 640 = \frac{340}{310} \times 640 \fallingdotseq 1.097 \times 640 \fallingdotseq 702 \text{ Hz}$$

（3）自動車が遠ざかるときの振動数：

遠ざかるときは $V - v_s \to V + v_s$ に置き換えます：

$$f'' = \frac{V}{V + v_s} f_0 = \frac{340}{340 + 30} \times 640 = \frac{340}{370} \times 640 \fallingdotseq 0.919 \times 640 \fallingdotseq 588 \text{ Hz}$$
答え：
（1）$\lambda' = \dfrac{31}{64} \fallingdotseq 0.48$ m
（2）近づくとき：$f' \fallingdotseq 702$ Hz
（3）遠ざかるとき：$f'' \fallingdotseq 588$ Hz
補足：ドップラー効果の公式の符号

ドップラー効果の一般公式は

$$f' = \frac{V - v_o}{V - v_s} f_0$$

ここで、音源→観測者の向きを正とします。

  • 音源が近づく：$v_s > 0$（分母が小さくなり $f'$ 増加）
  • 音源が遠ざかる：$v_s < 0$（分母が大きくなり $f'$ 減少）
  • 観測者が近づく：$v_o < 0$（分子が大きくなり $f'$ 増加）
Point

音源が動くドップラー効果：音源が速さ $v_s$ で近づくと波長が $\lambda' = \dfrac{V - v_s}{f_0}$ に縮み、振動数は $f' = \dfrac{V}{V - v_s} f_0$ に増加する。遠ざかるときは $V - v_s \to V + v_s$ に置き換える。