斜め方向のドップラー効果

速さ $v_s = 20$ m/s の飛行機が振動数 $f_0 = 340$ Hz の音を出しながら、地上の観測者 O の真上を通過します。音速 $V = 340$ m/s。観測者から見た飛行機の仰角を $\theta$ とします。

斜め方向のドップラー効果の公式：

音源の速度の観測者方向成分は $v_s \cos\theta$ です。ドップラー効果の公式で $v_s$ をこの成分に置き換えます：

$$f' = \frac{V}{V - v_s \cos\theta} f_0$$

（1）飛行機が近づいているとき（$\theta = 0°$、真正面から接近）：

$$f' = \frac{V}{V - v_s \cos 0°} f_0 = \frac{V}{V - v_s} f_0 = \frac{340}{340 - 20} \times 340 = \frac{340}{320} \times 340 \fallingdotseq 361 \text{ Hz}$$

（2）飛行機が真上にいるとき（$\theta = 90°$, $\cos 90° = 0$）：

$$f' = \frac{V}{V - v_s \times 0} f_0 = \frac{V}{V} f_0 = f_0 = 340 \text{ Hz}$$

（3）飛行機が遠ざかるとき（$\theta = 180°$、真後ろ）：

$$f' = \frac{V}{V - v_s \cos 180°} f_0 = \frac{V}{V + v_s} f_0 = \frac{340}{340 + 20} \times 340 = \frac{340}{360} \times 340 \fallingdotseq 321 \text{ Hz}$$

補足：なぜ音源の速度成分だけが効くのか

ドップラー効果は、音源が「観測者に近づく/遠ざかる」ことで波が圧縮/伸張されることが本質です。音源の速度のうち観測者に垂直な成分は、観測者との距離を変えないので、ドップラー効果に寄与しません。

数学的には、音源から観測者への単位ベクトル $\hat{r}$ と音源の速度ベクトル $\vec{v}_s$ の内積 $\vec{v}_s \cdot \hat{r} = v_s \cos\theta$ が実効的な接近速度です。