基本例題59 音源が動く場合のドップラー効果

設問(1)　前方に伝わる音の波長

直感的理解
音源が動くと、進行方向の前方では波が圧縮され波長が短くなり、後方では引き伸ばされ波長が長くなります。1秒間に音源は $f$ 個の波を出し、音は $V$ m 進みますが、音源自身も $v_\text{S}$ m 進むため、前方の $V - v_\text{S}$ m の中に $f$ 個の波が詰まります。

設定：$f = 800$ Hz、$v_\text{S} = 20$ m/s、$V = 340$ m/s。

立式：1秒間に音源が出す波の数は $f = 800$ 個。音は前方に $V = 340$ m 進み、音源は $v_\text{S} = 20$ m 進むので、前方の波は $V - v_\text{S} = 320$ m の中に $800$ 個入ります。

$$\lambda' = \frac{V - v_\text{S}}{f} = \frac{340 - 20}{800} = \frac{320}{800} = 0.400 \text{ m}$$
答え：
$$\lambda' = 0.400 \text{ m}$$
Point

音源が速さ $v_\text{S}$ で近づくとき、前方の波長は $\lambda' = \dfrac{V - v_\text{S}}{f}$。1秒間に $f$ 個の波が $V - v_\text{S}$ の区間に入る。

設問(2)　観測者が聞く振動数

直感的理解
観測者は静止しているので、音の速さ $V$ で短くなった波長 $\lambda'$ の波を受け取ります。$f' = V/\lambda'$ で振動数が求まり、元の $f$ より高くなります。

観測者は静止しているので、波長 $\lambda' = 0.400$ m の音を音の速さ $V = 340$ m/s で受け取ります：

$$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{340}{0.400} = 850 \text{ Hz}$$
答え：
$$f' = 850 \text{ Hz}$$
別解：ドップラー効果の公式から一発で求める

音源が速さ $v_\text{S}$ で観測者に近づき、観測者は静止（$v_0 = 0$）のとき：

$$f' = \frac{V - v_0}{V - v_\text{S}} f = \frac{V}{V - v_\text{S}} f = \frac{340}{340 - 20} \times 800 = \frac{340}{320} \times 800 = 850 \text{ Hz}$$
Point

ドップラー効果の公式：$f' = \dfrac{V - v_0}{V - v_\text{S}} f$。$v_\text{S}$, $v_0$ は音の伝わる向き（音源→観測者）を正とする。