直感的理解

パトカーが後方から近づくとき、音源→観測者の向きを正とします。パトカーの速さ $u$ が音源速度 $v_\text{S} = u$、自転車の速さ $v$ が観測者速度 $v_0 = v$（ともに同じ向き）です。音源が追い越す前は音が後方に伝わるので、音源→観測者の向きは自転車の進行方向と同じです。

設定：パトカーの速さ $u$、自転車の速さ $v$、音の速さ $V$。追い越す前は同じ向きに進行。

追い越す前：パトカーがOの後方から近づきます。音源→観測者の向きを正とすると、パトカーもOも同じ向き（正の向き）に動きます。

ドップラー効果の一般公式 $f' = \dfrac{V - v_o}{V - v_s} f$ に代入：

$$f' = \frac{V - v}{V - u} f \text{ [Hz]}$$

$u > v$（パトカーのほうが速い）なので $V - v > V - u$、したがって $f' > f$（高く聞こえる）。

答え：
$$f' = \frac{V - v}{V - u} f \text{ [Hz]}$$

Point

音源と観測者が同じ向きに動くとき：$f' = \dfrac{V - v_0}{V - v_\text{S}} f$。$v_\text{S}$, $v_0$ は音の伝わる向き（音源→観測者）を正。

直感的理解

追い越した後はパトカーが前方にいて遠ざかります。音の伝わる向きが反転するので、$v_\text{S}$ と $v_0$ の符号が変わります。

追い越した後：パトカーは前方、Oは後方。音はパトカーから後方のOに伝わります。

音源の速度 $v_\text{S} = -u$（音の伝わる向きと逆）、観測者の速度 $v_0 = -v$（音の伝わる向きと逆）：

$$f'' = \frac{V - (-v)}{V - (-u)} f = \frac{V + v}{V + u} f \text{ [Hz]}$$

答え：
$$f'' = \frac{V + v}{V + u} f \text{ [Hz]}$$

補足：追い越す前後の振動数の比較

$u > v$（パトカーのほうが速い）のとき：

直感と一致します。追い越すときにサイレンの音が「ピーポー」から低くなるのはこの効果です。

Point

追い越す前後で公式の $v_\text{S}$, $v_0$ の符号が反転する。近づくとき $f' > f$、遠ざかるとき $f'' < f$。

🧮 具体的な数値例

たとえば音速 $V = 340$ m/s、音源の振動数 $f = 1000$ Hz、音源の速度 $v_s = 20$ m/s（近づく場合）：

$$f' = \frac{V}{V - v_s} f = \frac{340}{340 - 20} \times 1000 = \frac{340}{320} \times 1000 \fallingdotseq 1063 \text{ Hz}$$

基本例題60 音源と観測者が動く場合のドップラー効果