基本例題61 壁で反射する場合のドップラー効果

設問(1)　直接聞く音の振動数

直感的理解
おんさは壁に向かって（観測者から遠ざかって）動いています。直接音は音源が遠ざかるドップラー効果なので、振動数は下がります。一方、壁での反射音は「壁に近づく音源」のドップラー効果を受けた音が壁で反射されるため、振動数が上がります。

設定：$f = 450$ Hz、$v_\text{S} = 3$ m/s（壁に向かう）、$V = 340$ m/s、観測者は静止。

直接音：音源がおんさ、観測者は静止。おんさは観測者から遠ざかるので、ドップラー効果の公式で $v_s = -3$ m/s（遠ざかる方向）：

$$f_1 = \frac{V}{V + v_\text{S}} f = \frac{340}{340 + 3} \times 450 = \frac{340}{343} \times 450$$ $$= 0.9912\cdots \times 450 \fallingdotseq 446 \text{ Hz}$$
答え：
$$f_1 \fallingdotseq 446 \text{ Hz}$$
Point

音源が遠ざかるとき $f' = \dfrac{V}{V + v_\text{S}} f < f$（振動数が下がる）。

設問(2)　壁から反射して聞こえる音の振動数

直感的理解
壁はまず「動く観測者」としておんさの音を受け取り、次に「静止した音源」としてその振動数の音を出します。2段階のドップラー効果で考えます。壁は静止しているので、壁がおんさから受け取る振動数がそのまま反射音の振動数になります。

Step 1：壁が受け取る振動数

壁は静止した観測者。おんさが壁に近づく（$v_\text{S} = 3$ m/s）。

$$f_{\text{壁}} = \frac{V}{V - v_\text{S}} f = \frac{340}{340 - 3} \times 450 = \frac{340}{337} \times 450$$

Step 2：壁が反射音として出す振動数

壁は静止した音源として $f_{\text{壁}}$ の音を出す。観測者も静止。

$$f_2 = f_{\text{壁}} = \frac{340}{337} \times 450 = 454.0\cdots \fallingdotseq 454 \text{ Hz}$$
答え：
$$f_2 \fallingdotseq 454 \text{ Hz}$$
補足：観測者が聞くうなりの回数

直接音 $f_1 \fallingdotseq 446$ Hz と反射音 $f_2 \fallingdotseq 454$ Hz を同時に聞くので、うなりが生じます。

$$\text{うなりの回数} = |f_2 - f_1| = |454 - 446| = 8 \text{ 回/秒}$$
Point

壁の反射は2段階で考える：(1) 壁が動く音源から受け取る振動数、(2) 壁が静止音源として出す振動数。壁は静止しているので、壁が受けた振動数 = 壁が出す振動数。