プリズムの偏角

偏角の導出：

プリズムの頂角を $A$、第1面での入射角を $\theta_1$、屈折角を $r_1$、第2面での入射角を $r_2$、出射角を $\theta_2'$ とします。

第1面での偏角は $\theta_1 - r_1$、第2面での偏角は $\theta_2' - r_2$ です。プリズム内部の三角形から $r_1 + r_2 = A$ が成り立つので、光路全体の偏角は：

$$\delta = (\theta_1 - r_1) + (\theta_2' - r_2) = \theta_1 + \theta_2' - (r_1 + r_2) = \theta_1 + \theta_2' - A$$

数値計算：頂角 $A = 60°$、屈折率 $n = 1.5$、入射角 $\theta_1 = 45°$ の場合：

Step 1　第1面でのスネルの法則 $\sin\theta_1 = n\sin r_1$：

$$\sin r_1 = \frac{\sin\theta_1}{n} = \frac{\sin 45°}{1.5} = \frac{0.707}{1.5} = 0.471$$ $$r_1 = \arcsin(0.471) \fallingdotseq 28.1°$$

Step 2　プリズム内部の関係 $r_1 + r_2 = A$：

$$r_2 = A - r_1 = 60° - 28.1° = 31.9°$$

Step 3　第2面でのスネルの法則 $n\sin r_2 = \sin\theta_2'$：

$$\sin\theta_2' = n\sin r_2 = 1.5 \times \sin 31.9° = 1.5 \times 0.528 = 0.793$$ $$\theta_2' = \arcsin(0.793) \fallingdotseq 52.5°$$

Step 4　偏角の計算：

$$\delta = \theta_1 + \theta_2' - A = 45° + 52.5° - 60° = 37.5°$$

全反射の条件：第2面で全反射が起こるのは $\sin\theta_2' = n\sin r_2 > 1$ のとき。$n = 1.5$ では臨界角は $r_{2c} = \arcsin(1/1.5) \fallingdotseq 41.8°$。$r_2 > 41.8°$ すなわち $r_1 < A - 41.8° = 18.2°$ で全反射が起こります。

補足：最小偏角の条件

偏角 $\delta$ が最小になるのは、$\theta_1 = \theta_2'$（入射角と出射角が等しい）のとき。このとき $r_1 = r_2 = A/2$ となり：

$$\delta_{\min} = 2\theta_1 - A$$ $$n = \frac{\sin\dfrac{A + \delta_{\min}}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}$$

数値例：$A = 60°$、$n = 1.5$ のとき：

$$\sin\dfrac{A}{2} = \sin 30° = 0.50$$ $$\sin\dfrac{A + \delta_{\min}}{2} = n\sin\dfrac{A}{2} = 1.5 \times 0.50 = 0.75$$ $$\frac{A + \delta_{\min}}{2} = \arcsin(0.75) \fallingdotseq 48.6°$$ $$\delta_{\min} = 2 \times 48.6° - 60° = 37.2°$$

具体的な数値計算（別ケース）

頂角 \(A = 60°\)、屈折率 \(n = 1.6\) のプリズムに入射角 \(\theta_1 = 50°\) で光が入射した場合の偏角を求めます。

Step 1　第1面での屈折（スネルの法則）：

$$\sin r_1 = \frac{\sin 50°}{1.6} = \frac{0.766}{1.6} \fallingdotseq 0.479$$ $$r_1 \fallingdotseq 28.6°$$

Step 2　プリズム内の関係 \(r_1 + r_2 = A\)：

$$r_2 = 60° - 28.6° = 31.4°$$

Step 3　第2面での屈折 \(n\sin r_2 = \sin\theta_2'\)：

$$\sin\theta_2' = 1.6 \times \sin 31.4° = 1.6 \times 0.521 \fallingdotseq 0.833$$ $$\theta_2' \fallingdotseq 56.4°$$

Step 4　偏角：

$$\delta = \theta_1 + \theta_2' - A = 50° + 56.4° - 60° = 46.4°$$

屈折率が大きくなると偏角も大きくなります（分散の原因）。

光の速さと波長の変化：真空中の光速 \(c = 3.0 \times 10^8\) m/s がプリズム（\(n = 1.6\)）内で

$$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.6} = 1.875 \times 10^8 \text{ m/s}$$

となり、約 \(1.13 \times 10^8\) m/s 遅くなります。波長 \(\lambda_0 = 600\) nm の可視光はプリズム内で

$$\lambda = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{600}{1.6} = 375 \text{ nm}$$

と短くなり、振動数 \(f = c/\lambda_0 = 5.0 \times 10^{14}\) Hz は媒質が変わっても不変です。