スネルの法則による屈折角の計算

設定：屈折率 $n = 1.3$ の媒質中の空洞（空気 $n_0 = 1$）に光が入射角 $\theta_1 = 30°$ で入射する。

(1) 屈折角：スネルの法則 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ を用います。媒質（$n_1 = 1.3$）から空洞（$n_2 = 1.0$）への入射なので：

$$1.3 \times \sin 30° = 1.0 \times \sin\theta_2$$ $$\sin\theta_2 = 1.3 \times 0.50 = 0.65$$ $$\theta_2 = \arcsin(0.65) \fallingdotseq 41°$$

(2) 空洞中の光の速さ：空洞は空気（$n = 1$）なので、光の速さは真空中と同じ：

$$v_{\text{空洞}} = c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$$

(3) 媒質中での光の速さ $v$ と波長 $\lambda$：屈折率の定義 $n = c/v$ より

$$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.3} \fallingdotseq 2.3 \times 10^8 \text{ m/s}$$

振動数 $f$ は媒質が変わっても不変なので、波長は $v = f\lambda$ より：

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{\lambda_0}{1.3}$$

補足：屈折率と光の速さの関係

屈折率 $n$ は「真空中の光速 $c$ が媒質中で何分の1になるか」を表します。$n = c/v$ なので、$n$ が大きいほど光は遅くなります。水 $n = 1.33$、ガラス $n \fallingdotseq 1.5$、ダイヤモンド $n = 2.42$ です。