屈折と全反射の臨界角

設定：屈折率 $n = 1.3$ の媒質中の光が空気中（$n_0 = 1$）に入射角 $\theta_1 = 30°$ で入射する。

(1) 屈折角：媒質（$n_1 = 1.3$）から空気（$n_2 = 1.0$）へのスネルの法則：

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$ $$1.3 \times \sin 30° = 1.0 \times \sin\theta_2$$ $$\sin\theta_2 = 1.3 \times 0.50 = 0.65$$ $$\theta_2 \fallingdotseq 41°$$

(2) 臨界角 $\theta_c$：屈折角が $\theta_2 = 90°$ になる入射角が臨界角です。スネルの法則に $\theta_2 = 90°$（$\sin 90° = 1$）を代入：

$$n_1 \sin\theta_c = n_2 \times 1$$ $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.0}{1.3} \fallingdotseq 0.769$$ $$\theta_c \fallingdotseq 50°$$

(3) 全反射の条件：入射角 $\theta_1 > \theta_c \fallingdotseq 50°$ のとき、$\sin\theta_2 > 1$ となって屈折光が存在できないため、全反射が起こります。

補足：全反射の利用例

光ファイバーは全反射を利用して光を閉じ込め、長距離通信に使われます。ダイヤモンドは屈折率が非常に大きく（$n = 2.42$、臨界角 $\fallingdotseq 24°$）、内部で全反射が起こりやすいため輝いて見えます。

🧮 数値計算で確認

波長 \(\lambda = 0.80\) m、振動数 \(f = 425\) Hz の場合：

$$v = f\lambda = 425 \times 0.80 = 340 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{425} \fallingdotseq 2.4 \times 10^{-3} \text{ s}$$ $$\text{2.0 m 先に到達する時間: } t = \frac{2.0}{340} \fallingdotseq 5.9 \times 10^{-3} \text{ s}$$