基本問題333 虹

虹の原理と光の分散

直感的理解
虹は、太陽光が空中の水滴に入り「屈折→内部反射→屈折」の過程を経て、波長（色）ごとに異なる角度で出てくることで生じます。赤は外側（約42°）、紫は内側（約40°）に見えます。

虹の生成メカニズム：

白色光が水滴に入ると、次の3つの過程を経ます：

  1. 第1の屈折：空気→水滴に入るとき屈折する
  2. 内部反射：水滴の裏面で反射する
  3. 第2の屈折：水滴→空気に出るとき再び屈折する

分散：水の屈折率は波長によって異なり（分散）、紫の光ほど屈折率が大きい。

このため出射角が色ごとに異なり、虹の七色が分離して見えます。

虹の見える角度：

答え：
虹は水滴による「屈折→内部反射→屈折」と光の分散によって生じる。赤が外側（約42°）、紫が内側（約40°）。物質Aは水、境界面ABは水滴の入射面、境界面DCは水滴の出射面。
補足：主虹と副虹

通常見える虹（主虹）は水滴内で1回反射したもの。2回反射すると副虹（2次の虹）が主虹の外側に、色の順番が逆（赤が内側）で現れます。副虹は暗いため見えにくいことが多いです。

Point

光の分散：屈折率が波長に依存する現象。紫の光ほど屈折率が大きく、赤の光ほど小さい。プリズムによるスペクトル分離も同じ原理。

📐 公式のまとめ

この問題で使う主な公式：

$$v = f\lambda \quad \text{（波の基本式）}$$ $$y = A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) \quad \text{（正弦波の式）}$$ $$f' = \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} f \quad \text{（ドップラー効果）}$$
🧮 具体的な数値で確認

この問題の物理量に具体的な数値を当てはめて確認してみましょう。

たとえば振動数 \(f = 440\) Hz の音波（音速 \(V = 340\) m/s）の場合：

$$\lambda = \frac{V}{f} = \frac{340}{440} \fallingdotseq 0.77 \text{ m}$$ $$\text{周期: } T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440} \fallingdotseq 2.3 \times 10^{-3} \text{ s}$$ $$\text{波源が } v_s = 20 \text{ m/s で近づくときの観測振動数: } f' = \frac{340}{340 - 20} \times 440 \fallingdotseq 468 \text{ Hz}$$

波の速さ・振動数・波長の関係 \(v = f\lambda\) は全ての波動現象で成り立ちます。