凸レンズの写像公式と倍率

設定：焦点距離 $f = 10$ cm の凸レンズ。

(1) 倍率1（等倍）の実像ができる条件：

$|m| = b/a = 1$ より $b = a$。レンズの公式 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$ に $b = a$ を代入：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f}$$ $$\frac{2}{a} = \frac{1}{f}$$ $$a = 2f = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}$$

このとき $b = a = 20$ cm。レンズの後方 20 cm に等倍の実像ができます。

(2) 物体を $a = 6.8$ cm に置いた場合（$a < f$）：

$$\frac{1}{6.8} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$$ $$\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{6.8} = \frac{6.8 - 10}{68} = \frac{-3.2}{68}$$ $$b = \frac{68}{-3.2} = -21.25 \text{ cm}$$

$b < 0$ なので虚像。レンズの前方（物体側）21.25 cm に像ができます。倍率は：

$$m = \frac{b}{a} = \frac{-21.25}{6.8} \fallingdotseq -3.1$$

$|m| > 1$ なので正立拡大の虚像（ルーペで覗いたときの像）。

補足：実像と虚像の見分け方

実像はスクリーンに映る像（光が実際に集まる）、虚像はスクリーンに映らない像です。凸レンズで物体が焦点の外なら実像、内側なら虚像になります。