基本問題339 凹・凸面鏡による像

球面鏡の写像公式

直感的理解
球面鏡の公式はレンズの公式と同じ形です。凹面鏡では $f > 0$、凸面鏡では $f < 0$。凹面鏡は化粧鏡や天体望遠鏡、凸面鏡はカーブミラーとして使われています。

設定：焦点距離 $f = 18$ cm（$R = 36$ cm）の凹面鏡の前方 $a = 54$ cm に物体を置く。

(1) 像の位置：球面鏡の公式 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$ に $a = 54$ cm、$f = 18$ cm を代入：

$$\frac{1}{54} + \frac{1}{b} = \frac{1}{18}$$ $$\frac{1}{b} = \frac{1}{18} - \frac{1}{54} = \frac{3 - 1}{54} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$$ $$b = 27 \text{ cm}$$

(2) 倍率：

$$m = \frac{b}{a} = \frac{27}{54} = 0.50$$

$b > 0$ なので実像。倍率 0.5 なので倒立で物体の半分の大きさです。

(3) 凸面鏡の場合（$f = -18$ cm）：同じ物体位置 $a = 54$ cm で公式に代入：

$$\frac{1}{54} + \frac{1}{b} = \frac{1}{-18}$$ $$\frac{1}{b} = -\frac{1}{18} - \frac{1}{54} = \frac{-3 - 1}{54} = -\frac{4}{54} = -\frac{2}{27}$$ $$b = -\frac{27}{2} = -13.5 \text{ cm}$$

$b < 0$ なので鏡の裏側に虚像。倍率は：

$$|m| = \frac{|b|}{a} = \frac{13.5}{54} = 0.25$$

正立・縮小の虚像です。

答え：
凹面鏡：$b = 27$ cm（実像）、倍率 $0.5$（倒立）
凸面鏡：$b = -13.5$ cm（虚像）、倍率 $0.25$（正立・縮小）
補足：球面鏡の符号規約

球面鏡では以下の符号規約が一般的です：

  • 凹面鏡：$f > 0$、$R > 0$
  • 凸面鏡：$f < 0$、$R < 0$
  • 実像：$b > 0$（鏡の前）
  • 虚像：$b < 0$（鏡の裏）
Point

球面鏡の公式はレンズの公式と同じ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$。焦点距離 $f = R/2$。凹面鏡は $f > 0$、凸面鏡は $f < 0$ で使い分ける。