ヤングの実験の干渉縞

穴埋めの解答

経路差の導出：

スリット S$_1$, S$_2$ から点 P までの距離をそれぞれ $S_1P$, $S_2P$ とすると、経路差は

$$\Delta l = S_2P - S_1P = d\sin\theta$$

$\theta$ が十分小さいとき、$\sin\theta \fallingdotseq \tan\theta = \dfrac{x}{l}$ より

$$\Delta l = d \cdot \frac{x}{l} = \frac{dx}{l}$$

明線の条件：

強め合い（明線）の条件は経路差が波長の整数倍：

$$\frac{dx}{l} = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

よって $m$ 番目の明線の位置は

$$x_m = m \cdot \frac{l\lambda}{d}$$

明線の間隔：

隣り合う明線 $m$ と $m+1$ の間隔は

$$\Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{l\lambda}{d}$$

(a) 波長の算出

明線間隔の公式 $\Delta x = \dfrac{l\lambda}{d}$ より、$\lambda = \dfrac{d \cdot \Delta x}{l}$ です。

橙色（$\lambda_2 = 6.0 \times 10^{-7}$ m）の明線間隔 $\Delta x_2$ と青色の明線間隔 $\Delta x_1 = 4.5 \times 10^{-1}$ mm の比をとると

$$\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

$\Delta x_2$ の値と合わせて青色の波長 $\lambda_1$ が求まります。

(b) 液体中での明線間隔

屈折率 $n$ の液体中では光の波長が $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$ に短くなるので、明線間隔は

$$\Delta x' = \frac{l\lambda'}{d} = \frac{l\lambda}{nd} = \frac{\Delta x}{n}$$

明線間隔は $\dfrac{1}{n}$ 倍に狭くなります。

補足：ヤングの実験で単スリットを使う理由

光源からの光をまず単スリット S に通すことで、S$_1$ と S$_2$ に届く光の位相が揃い（コヒーレントになり）、安定した干渉縞が観測できます。光源が拡がっていると、各点からの光が異なる位相を持ち、干渉縞がぼやけてしまいます。