回折格子による干渉

(1) 0次の明線

格子定数 $d$ は 1 cm あたり $N$ 本の刻みがあるとき

$$d = \frac{1}{N} \;\text{[cm]}$$

例えば $N = 500$ 本/cm なら $d = \dfrac{1}{500}\;\text{cm} = 2.0 \times 10^{-3}\;\text{cm} = 2.0 \times 10^{-5}\;\text{m}$。

白色光を入射したとき、中央の最も明るい明線は $m = 0$（0次）の明線です。回折格子の明線条件は

$$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

$m = 0$ では $\sin\theta = 0$、つまり $\theta = 0$（直進方向）。波長に依存しないので全色が重なり白く明るく見えます。

(2) 特定角度での明線

$m = 1$ のとき明線条件は

$$d\sin\theta = \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = d\sin\theta$$

回折角 $\theta$ が小さいとき $\sin\theta \fallingdotseq \theta$（ラジアン）を使うと

$$\lambda \fallingdotseq d\theta$$

例えば $d = 2.0 \times 10^{-5}$ m, $\theta = 0.025$ rad なら

$$\lambda = 2.0 \times 10^{-5} \times 0.025 = 5.0 \times 10^{-7}\;\text{m} = 500\;\text{nm}$$

(3) 1 cm あたりの干渉縞の本数

$m = 1$ の明線のスクリーン上での位置 $y$ は、格子からスクリーンまでの距離 $L$ として

$$y = L\tan\theta \fallingdotseq L\sin\theta = \frac{L\lambda}{d}$$

スクリーン上の 1 cm あたりの干渉縞の本数は、隣り合う次数間の間隔の逆数です。

(4) 回折格子に透明板をかぶせた場合

すべてのスリットに同じ透明板をかぶせると、各スリットからの光の位相は一様にずれるだけ（隣り合うスリット間の経路差は変わらない）なので、干渉縞のパターンは変化しません。

補足：回折格子とヤングの実験の違い

ヤングの実験（2本スリット）では明線がなだらかに広がりますが、回折格子（$N$ 本スリット）では明線が鋭くなり、次数間の暗い部分が広くなります。$N$ が大きいほど明線はシャープになり、波長の分離能力（分解能）が高くなります。