石けん膜（薄膜）による光の干渉

条件の整理

石けん膜の屈折率 $n = 1.3$、厚さ $d = 4.0 \times 10^{-7}$ m。垂直入射を考えます。

位相反転の確認：

• 上面（空気→膜）：$n_{\text{air}} < n_{\text{film}}$ → 位相反転あり
• 下面（膜→空気）：$n_{\text{film}} > n_{\text{air}}$ → 位相反転なし

位相反転は1回（奇数回）なので、光路差に半波長分のずれを加えます。

光路差と干渉条件

垂直入射（$\cos r = 1$）のとき光路差は

$$\Delta = 2nd = 2 \times 1.3 \times 4.0 \times 10^{-7} = 1.04 \times 10^{-6}\;\text{m}$$

位相反転が奇数回（1回）なので、強め合い（反射光が明るい）の条件は

$$2nd = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{2nd}{m + \frac{1}{2}} = \frac{1.04 \times 10^{-6}}{m + 0.5}$$

可視光の範囲（$3.8 \times 10^{-7}$ m 〜 $7.7 \times 10^{-7}$ m）で強め合う波長を求めます：

• $m = 0$：$\lambda = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{0.5} = 2.08 \times 10^{-6}$ m（赤外線、不可視）
• $m = 1$：$\lambda = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{1.5} \fallingdotseq 6.9 \times 10^{-7}$ m（赤色、可視）
• $m = 2$：$\lambda = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{2.5} \fallingdotseq 4.2 \times 10^{-7}$ m（紫色、可視）
• $m = 3$：$\lambda = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{3.5} \fallingdotseq 3.0 \times 10^{-7}$ m（紫外線、不可視）

弱め合い（透過光が明るい）の条件

弱め合いの条件は $2nd = m\lambda$ より $\lambda = \dfrac{2nd}{m} = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{m}$：

• $m = 1$：$\lambda = 1.04 \times 10^{-6}$ m（不可視）
• $m = 2$：$\lambda = \dfrac{1.04 \times 10^{-6}}{2} = 5.2 \times 10^{-7}$ m（緑色、可視）

補足：なぜ石けん膜は虹色に見えるか

石けん膜は重力で下ほど厚くなります。厚さが場所ごとに異なるため、各場所で強め合う波長が変わり、虹色の縞模様として観察されます。膜が非常に薄い（$d \fallingdotseq 0$）部分では $2nd \fallingdotseq 0$ で位相反転のみが残り、反射光は弱め合って暗く見えます。

🧮 具体的な数値例

たとえばヤングの実験でスリット間隔 \(d = 0.50\) mm、スクリーン距離 \(L = 1.5\) m、波長 \(\lambda = 600\) nm の場合：

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.50 \times 10^{-3}} = 1.8 \times 10^{-3} \text{ m} = 1.8 \text{ mm}$$