ニュートンリングの干渉縞

直感的理解

ニュートンリングは、平凸レンズを平面ガラスの上に置いたときにできる同心円状の干渉縞です。レンズの曲面とガラスの間にできる空気層の厚さが中心からの距離 $r$ によって変わるため、特定の半径で明暗が繰り返されます。中心（接触点）は位相反転のため暗くなります。リングの半径は $\sqrt{m}$ に比例するため、外側ほど間隔が狭くなるのが特徴です。

(1) 空気層の厚さ

レンズの曲率半径を $R$、中心からの距離を $r$ とすると、幾何学的関係から

$$R^2 = r^2 + (R - d)^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2$$

$d \ll R$ なので $d^2$ を無視して

$$0 = r^2 - 2Rd \quad \Rightarrow \quad d = \frac{r^2}{2R}$$

(2) 暗輪（暗いリング）の条件

平面ガラス上面での反射で位相反転が起きる（空気→ガラスで $n$ 増加）ので、くさび形と同じく

暗輪の条件（位相反転1回で弱め合い）：

$$2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$

$d = \dfrac{r^2}{2R}$ を代入すると

$$2 \cdot \frac{r^2}{2R} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad \frac{r^2}{R} = m\lambda$$ $$\therefore \; r_m = \sqrt{m\lambda R}$$

$m = 0$ のとき $r_0 = 0$（中心は暗い）。

(3) 明輪の条件

強め合い（明輪）の条件は

$$2d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \Rightarrow \quad r_m = \sqrt{\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda R}$$

(4) レンズとガラスの間に液体を満たした場合

屈折率 $n$ の液体を空気層に満たすと、光路差は $2nd$ になるので

$$2n \cdot \frac{r^2}{2R} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad r_m = \sqrt{\frac{m\lambda R}{n}}$$

各リングの半径は $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ 倍に縮小します。

(5) 曲率半径 $R$ の決定

$m$ 番目の暗輪の半径 $r_m$ を測定すれば

$$r_m^2 = m\lambda R \quad \Rightarrow \quad R = \frac{r_m^2}{m\lambda}$$

答え：
(1) 空気層の厚さ：$d = \dfrac{r^2}{2R}$
(2) $m$ 番目の暗輪の半径：$r_m = \sqrt{m\lambda R}$（$m = 0$ で中心暗点）
(3) 明輪の半径：$r_m = \sqrt{(m + \frac{1}{2})\lambda R}$
(4) 液体充填時：$r_m = \sqrt{\dfrac{m\lambda R}{n}}$
(5) 曲率半径：$R = \dfrac{r_m^2}{m\lambda}$

別解：$r_m^2$ のグラフからRを求める方法

$r_m^2 = m\lambda R$ より、$r_m^2$ を $m$ に対してプロットすると傾き $\lambda R$ の直線になります。グラフの傾きから $R$ が精度よく求められ、実験ではこの方法がよく使われます。

補足：ニュートンリングの歴史

ニュートンリングはアイザック・ニュートンが発見しましたが、ニュートン自身は光の粒子説を支持しており、この現象を波動論で正しく説明したのはトマス・ヤングでした。皮肉にも「ニュートンリング」は波動としての光の性質を最もよく示す現象の一つです。

Point

ニュートンリングの公式：

暗輪の半径：$r_m = \sqrt{m\lambda R}$（$m = 0, 1, 2, \ldots$）
中心は暗い（$m = 0$、位相反転のため）
リングの間隔は外側ほど狭くなる（$r \propto \sqrt{m}$）
くさび形と異なり等間隔ではない点に注意

🧮 具体的な数値例

たとえば質量 $m = 3.0$ kg の物体に $F = 6.0$ N の力を加えた場合：