応用問題371 一様な電場内での荷電粒子の運動

設問(1)　電位の比較

直感的理解
電場の向きは右向き。電位は電場の上流（左側）ほど高い。P は R より左にあるので $V_\mathrm{P} > V_\mathrm{R}$。電位差は「電場方向の距離成分 $\times E$」で求まります。

電場 $E$ は水平右向き。Pは R より電場の上流側にあるため、Pの方が高電位。

PRの水平距離を $l\cos\theta$ とすると：

具体的な計算：$k_0 = 9.0 \times 10^9$ N$\cdot$m$^2$/C$^2$、電荷 $q = 2.0 \times 10^{-6}$ C、距離 $r = 0.30$ m のとき：

$$F = k_0 \frac{q_1 q_2}{r^2}$$ $$E = k_0 \frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{(0.30)^2} = 2.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k_0 \frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 6.0 \times 10^4 \text{ V}$$
答え：
Pが高電位。$V = El\cos\theta$
Point

電位差 $V = Ed$ の $d$ は電場方向の距離成分。斜面上の移動距離ではないことに注意。

設問(2)(3)　静電気力の仕事

直感的理解
静電気力の仕事は「電荷 $\times$ 電位差」。正電荷が高電位に向かって移動するとき、電場は負の仕事をする（逆向きの力に逆らう）。ここでは低電位→高電位への移動なので外力がする仕事を考えます。

設問(2)：Q→Pの移動で電場がする仕事

設問(3)：R→Pの移動で電場がする仕事

$W_\mathrm{RP} < 0$ は、正電荷を高電位へ移動させるので電場が負の仕事をすることを意味します。

答え：
$$W_\mathrm{QP} = q(V_\mathrm{Q} - V_\mathrm{P}), \quad W_\mathrm{RP} = -qEl\cos\theta$$
Point

電場の仕事 $W = q(V_\text{始} - V_\text{終})$。経路によらない（保存力）。

設問(4)(5)　運動の解析

直感的理解
斜面上の荷電粒子には、重力の斜面成分 $mg\sin\theta$（下向き）と電場による力の斜面成分 $qE\cos\theta$（条件次第で上下）がはたらきます。等加速度運動として解きます。

斜面に沿った運動方程式：

これは等加速度直線運動。$v_0 = 0$ から出発する場合の時間 $t$ や、指定位置での速さは通常の力学の公式で求められます。

答え：
斜面に沿った加速度 $a = \dfrac{qE\cos\theta - mg\sin\theta}{m}$ で等加速度運動
補足：電場と電位の関係

一様な電場 $E$ では電位差と電場の関係は：

$$V = Ed$$

点電荷の場合、$E = -\frac{dV}{dr}$ で微分の関係にあります。

Point

電場中の荷電粒子の運動は力学+電磁気学の融合問題。まず力の図を描き、運動方程式を立てる。