応用問題372 帯電した球体がつくる電場

設問(1)-(3)　電場の分布

直感的理解
帯電した導体球の電荷はすべて表面に分布します。導体に +Q を与えると、余剰の正電荷どうしがクーロン斥力で反発し合い、互いの距離を最大化しようとして表面まで押し出されるためです。球の外部ではまるで中心に全電荷が集まった点電荷のように振る舞い、$E \propto 1/r^2$。内部では電場がゼロ（ガウスの法則で囲まれる電荷がゼロのため）。表面で電場が最大になります。

ガウスの法則 $\displaystyle\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_\text{in}}{\varepsilon_0}$ を半径 $r$ の球面に適用します。球対称より $E$ は球面上で一定なので、左辺は $E \times 4\pi r^2$ です。

$r > R$（球の外部）

ガウス面内の電荷は $Q$ なので：

$$E \times 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{kQ}{r^2}$$

数値例：$Q = 2.0 \times 10^{-8}$ C、$R = 0.10$ m、$r = 0.30$ m のとき：

$$E = \frac{9.0 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-8}}{0.30^2} = \frac{180}{0.090} = 2.0 \times 10^3 \text{ N/C}$$

$r = R$（球の表面）

$r = R$ を代入：

$$E = \frac{kQ}{R^2} = \frac{9.0 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-8}}{0.10^2} = \frac{180}{0.010} = 1.8 \times 10^4 \text{ N/C}$$

表面の電場は $r = 0.30$ m のときの $\left(\dfrac{0.30}{0.10}\right)^2 = 9$ 倍であり、$2.0 \times 10^3 \times 9 = 1.8 \times 10^4$ N/C と一致します。

$r < R$（球の内部）

導体内部には電荷がないので $Q_\text{in} = 0$：

$$E \times 4\pi r^2 = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad E = 0$$
答え：
$$E = \begin{cases} 0 & (r < R) \\ \dfrac{kQ}{R^2} & (r = R) \\ \dfrac{kQ}{r^2} & (r > R) \end{cases}$$
別解：電位から電場を求める

導体球外部の電位は $V = kQ/r$ なので：

$$E = -\frac{dV}{dr} = \frac{kQ}{r^2} \quad (r > R)$$

導体球内部は等電位（$V = kQ/R$ = 一定）なので：

$$E = -\frac{dV}{dr} = 0 \quad (r < R)$$
Point

帯電した導体球は、外部では点電荷と同じ電場をつくる。内部では $E = 0$。$E$-$r$ グラフは $r = R$ で不連続に立ち上がり、$r^{-2}$ で減衰する。