応用問題373 電位

設問(1)　電位が0になる点

直感的理解
正電荷は正の電位、負電荷は負の電位を作ります。「電位 $= 0$」の点は、正の寄与と負の寄与がちょうど打ち消し合う位置です。+2Qと-Qなら、Bに近い外側とAB間のBに近い位置に V=0 の点が2つあります。

$x$ 軸上に $+2Q$（A, $x = -a$）と $-Q$（B, $x = +a$）を置きます。点 P($x$) での電位：

$$V = k\frac{2Q}{|x - (-a)|} + k\frac{-Q}{|x - a|} = k\frac{2Q}{x + a} - k\frac{Q}{|x - a|}$$

$V = 0$ の条件は $\dfrac{2Q}{x+a} = \dfrac{Q}{|x-a|}$ すなわち $2|x - a| = x + a$。

AB間の場合（$-a < x < a$, $|x-a| = a-x$）：

$$2(a - x) = x + a \quad \Rightarrow \quad 2a - 2x = x + a \quad \Rightarrow \quad a = 3x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a}{3}$$

Bの外側（$x > a$, $|x-a| = x-a$）：

$$2(x - a) = x + a \quad \Rightarrow \quad 2x - 2a = x + a \quad \Rightarrow \quad x = 3a$$
答え：
電位が0になる点は、AB間で A から $\dfrac{4a}{3}$ の点（$x = a/3$）と、B の外側 A から $4a$ の点（$x = 3a$）
Point

電位の重ね合わせで $V = 0$ を求める。電荷の大きさの比から距離の比が決まる。異符号の電荷の場合、V=0 の点は2か所に現れる。

設問(2)(3)　電位と仕事

直感的理解
中点Mでの電位は各電荷からの寄与を足すだけ。仕事は「電荷 $\times$ 電位差」で求まります。無限遠の電位は0なので、$W = q(V_\infty - V_M) = -qV_M$ です。

設問(2)：中点 M（$x = 0$）の電位。A, B からの距離はどちらも $a$ なので

$$V_M = k\frac{2Q}{a} + k\frac{-Q}{a} = \frac{kQ}{a}$$

設問(3)：点電荷 $q$ を M（電位 $V_M = kQ/a$）から無限遠（電位 $0$）へ移す外力の仕事

$$W_{\text{ext}} = q(V_\infty - V_M) = q\left(0 - \frac{kQ}{a}\right) = -\frac{kqQ}{a}$$

$W < 0$ は、外力は負の仕事（= 電場が正の仕事をする）ことを意味します。正電荷 $q$ は正電位の場所から自然に離れようとします。

答え：
$$V_M = \frac{kQ}{a}$$ $$W = -\frac{kqQ}{a}$$
補足：電場と電位の関係

一様な電場 $E$ では電位差と電場の関係は：

$$V = Ed$$

点電荷の場合、$E = -\frac{dV}{dr}$ で微分の関係にあります。

Point

電位はスカラーの加算で求まる。仕事 $W = q\Delta V = q(V_\text{終} - V_\text{始})$。無限遠の電位は 0。

🧮 数値計算で確認

\(B = 0.40\) T の磁場中を速さ \(v = 5.0\) m/s で移動する長さ \(l = 0.30\) m の導体棒：

$$\mathcal{E} = Blv = 0.40 \times 0.30 \times 5.0 = 0.60 \text{ V}$$ $$R = 3.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 \text{ A}$$ $$F = BIl = 0.40 \times 0.20 \times 0.30 = 0.024 \text{ N}$$