応用問題374 電場・電位

設問(1)(2)　電位差と仕事

直感的理解
一様な電場中の電位差は、電場方向の距離成分だけで決まります。電場に垂直な移動では電位は変わりません。等電位線は電気力線に垂直です。A, B をドラッグして、電場方向の距離成分と電位差の関係を確認しましょう。

一様な電場 $\vec{E}$（$x$ 軸正方向）中で A($x_1$), B($x_2$) の電位差：

$$V_A - V_B = Ed$$

ここで $d$ は電場方向の距離成分（斜めに距離 $l$、角度 $\theta$ なら $d = l\cos\theta$）。

仕事：正電荷 $q$ を A→B に移すとき、電場がする仕事は

$$W = q(V_A - V_B) = qEd$$
答え：
$$V_\mathrm{A} - V_\mathrm{B} = Ed$$ $$W = qEd$$
Point

一様な電場中の電位差 $\Delta V = Ed$。$d$ は電場方向の距離成分。電場に垂直な移動は電位差ゼロ。

設問(3)　等電位線と電場

直感的理解
電気力線（電場の向き）と等電位線は常に直交します。等電位線に沿って移動しても電位は変わらない（電場に垂直だから仕事がゼロ）。電場の向きを変えても、この直交関係は保たれます。

一様な電場では：

等電位線に沿った移動では $\Delta V = 0$ なので仕事もゼロ。

答え：
等電位線は電気力線に垂直。電場の強さは等電位線の間隔の逆数に比例。
補足：点電荷の等電位面

点電荷のまわりの等電位面は同心球面です。電位 $V = kQ/r$ は $r$ のみに依存するので、$r = $ 一定の面が等電位面。電気力線は放射状で、同心球面に垂直です。

Point

電気力線と等電位線（面）は常に直交する。$E = -dV/dr$（電位の空間微分が電場）。

🧮 具体的な数値例

たとえば \(q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\) C と \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\) C が \(r = 0.10\) m 離れている場合：

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^{9} \times \frac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.010} = 5.4 \text{ N}$$ $$E = k\frac{|q_1|}{r^2} = 9.0 \times 10^{9} \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.010} = 1.8 \times 10^{6} \text{ N/C}$$