基本問題363 ガウスの法則

ガウスの法則と電気力線

直感的理解
ガウスの法則は「閉曲面を貫く電気力線の総本数は、内部の電荷にのみ依存する」という法則です。球対称なら、球面上の電場は一定で、$E \times 4\pi r^2 = Q/\varepsilon_0$ から電場が求まります。面を大きくしても電気力線の総本数は変わりません。

ガウスの法則：

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$$

球対称の場合（点電荷 $+Q$ を中心とする半径 $r$ の球面）：

球面上で $E$ は一定で面に垂直なので

$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{kQ}{r^2}$$

電気力線の本数：ガウス面の大きさによらず、貫く電気力線の総本数は $Q/\varepsilon_0$ で一定。

計算例：$Q = 4.0 \times 10^{-6}$ C, $r = 0.30$ m のとき

$$E = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-6}}{(0.30)^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{4.0 \times 10^{-6}}{0.090} = 4.0 \times 10^5\;\text{N/C}$$
答え：
$$E = \frac{kQ}{r^2} = 4.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$
補足：ガウスの法則が有効な対称性

ガウスの法則で電場を直接求められるのは、以下の高い対称性がある場合：

  • 球対称：点電荷、一様に帯電した球殻/球体
  • 円筒対称：無限に長い直線電荷
  • 平面対称：無限に広い一様帯電面
Point

ガウスの法則：閉曲面を貫く電束（電気力線の本数）= $Q_\text{in}/\varepsilon_0$。球対称なら $E = kQ/r^2$ がすぐに導ける。ガウス面の内部の電荷のみが寄与する。