基本例題69 クーロンの法則・電場の強さ

設問(1)　2つの小球間の静電気力

直感的理解
$+q$ と $-q$ は異種電荷なので引力がはたらきます。クーロンの法則で距離は AB 間の $2a$ を使います。

立式：

異種電荷なので引力。

答え：
$$F = k\frac{q^2}{4a^2} \quad (\text{引力})$$
Point

$F$ と $E$ を混同しないこと。静電気力 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$、電場 $E = k\dfrac{Q}{r^2}$。

設問(2)　点Cにおける電場の強さ $E_\mathrm{C}$

直感的理解
Cは AB の垂直二等分線上にあるので、AC = BC。$+q$ がつくる電場 $\vec{E}_\mathrm{A}$ はCから遠ざかる向き、$-q$ がつくる電場 $\vec{E}_\mathrm{B}$ はCからBへ向かう向き。対称性から鉛直成分は打ち消し合い、水平成分（$x$ 軸正方向）のみ残ります。

設定：AB = $2a$, C は AB の垂直二等分線上で AB からの距離 $a$。よって

$$\text{AC} = \text{BC} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}\,a$$

各電荷が C につくる電場の大きさ（$r = \sqrt{2}\,a$）：

$$E_A = E_B = k\frac{q}{(\sqrt{2}\,a)^2} = \frac{kq}{2a^2}$$

対称性から鉛直成分は打ち消し合い、水平成分（$\cos 45°$ 成分）のみが残ります。$E_A$ と $E_B$ の水平成分は同じ向き（A→B 方向）なので

$$E_C = 2 \times \frac{kq}{2a^2} \times \cos 45° = 2 \times \frac{kq}{2a^2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}\,kq}{2a^2}$$

向きはA→Bの向き（$x$ 軸正方向）。

答え：
$$E_\mathrm{C} = \frac{\sqrt{2}\,kq}{2a^2} \quad \text{（図の向き）}$$
補足：電場と電位の関係

一様な電場 $E$ では電位差と電場の関係は：

$$V = Ed$$

点電荷の場合、$E = -\frac{dV}{dr}$ で微分の関係にあります。

Point

電場の重ね合わせ：各電荷からの電場ベクトルを求め、ベクトル合成する。対称性を使うと計算が楽になる。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$