基本例題71 電場のする仕事

各区間の仕事

直感的理解
電場のする仕事は始点と終点の電位差だけで決まります。途中の経路は関係ありません。等電位線上を移動するとき、電位差がゼロなので仕事もゼロです。これは重力が水平面上の移動で仕事をしないのと同じ原理です。

公式：電場がする仕事 $W = q(V_\text{始点} - V_\text{終点})$

図より各点の電位を等電位線から読み取ります。2枚の金属板の電位差は $1.2 \times 10^2$ V、等電位線は 10 V 間隔。

A→B区間

Aの電位とBの電位の差から：

B→C区間

B, C は同じ等電位面上にあるので：

C→D区間

D→E区間

（D→Eは高電位側への移動なので、電場は負の仕事をする）

答え：
$$W_\mathrm{AB} = 9.6 \times 10^{-14} \text{ J}$$ $$W_\mathrm{BC} = 0$$ $$W_\mathrm{CD} \fallingdotseq 1.3 \times 10^{-13} \text{ J}$$ $$W_\mathrm{DE} = -3.2 \times 10^{-14} \text{ J}$$
補足：A→E の全仕事を一発で求める方法

静電気力は保存力なので、途中の経路に関係なく始点と終点の電位差だけで仕事が決まります。

$$W_\mathrm{AE} = q(V_\mathrm{A} - V_\mathrm{E}) = 3.2 \times 10^{-15} \times (120 - 60) = 1.92 \times 10^{-13} \text{ J}$$

検算として各区間の合計を確認すると：

$$W_\mathrm{AB} + W_\mathrm{BC} + W_\mathrm{CD} + W_\mathrm{DE} = 9.6 \times 10^{-14} + 0 + 1.28 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14} = 1.92 \times 10^{-13} \text{ J}$$

一致するので、計算が正しいことが確認できます。このように「全体の仕事 = 各区間の仕事の合計」は有効な検算手段です。

Point

電場のする仕事 $W = qV$ は経路によらない（保存力）。等電位面上の移動では仕事ゼロ。高電位→低電位の移動で正の仕事。