応用問題388 平行板コンデンサーの電場と静電エネルギー

S閉（$V$ 一定）で $d \to 3d$

直感的理解
S閉（電池接続中）では $V$ が一定。$d$ を3倍にすると $E = V/d$ が $1/3$ 倍に。$C = \varepsilon S/d$ が $1/3$ 倍。$U = CV^2/2$ が $1/3$ 倍。一方 S開（電池切断後）では $Q$ が一定。$E = Q/(\varepsilon S)$ は不変。$U = Q^2/(2C)$ は3倍。

設問(1)(2) S閉（$V$ 一定）で $d \to 3d$

電場：$E = V/d$ より：

$$E' = \frac{V}{3d} = \frac{1}{3}\,E \quad \text{（}\frac{1}{3}\text{ 倍）}$$

電気容量：$C = \varepsilon_0 S/d$ より：

$$C' = \frac{\varepsilon_0 S}{3d} = \frac{1}{3}\,C$$

静電エネルギー：$V$ 一定なので $U = \dfrac{1}{2}CV^2$ を使う：

$$U' = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{C}{3} \cdot V^2 = \frac{1}{3}\,U \quad \text{（}\frac{1}{3}\text{ 倍）}$$
答え（S閉）：
電場：$\dfrac{1}{3}$ 倍、静電エネルギー：$\dfrac{1}{3}$ 倍

設問(3)(4) S開（$Q$ 一定）で $d \to 3d$

電場：$E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S)$ は $d$ に依存しないので：

$$E' = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} = E \quad \text{（変化なし）}$$

電気容量：$C' = C/3$（S閉と同じ）

静電エネルギー：$Q$ 一定なので $U = \dfrac{Q^2}{2C}$ を使う：

$$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2 \cdot C/3} = 3 \cdot \frac{Q^2}{2C} = 3U \quad \text{（3倍）}$$
答え（S開）：
電場：変化なし（1倍）、静電エネルギー：3倍
補足：エネルギーが増える理由

S開で極板間隔を広げるとエネルギーが増加します。これは極板間に引力がはたらいているのに逆らって引き離すため、外力が正の仕事をするからです。その仕事分がエネルギー増加に対応します。

Point

コンデンサーの問題は「何が一定か」を最初に判断する。S閉→$V$一定、S開→$Q$一定。この判断で全量の変化が決まる。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$