基本量の計算

(1) 電気容量：

$$C = \varepsilon_0\frac{S}{d}$$

数値例：$S = 0.020$ m²、$d = 1.0 \times 10^{-3}$ m、$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m のとき：

$$C = 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{0.020}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.77 \times 10^{-10} \text{ F} \fallingdotseq 0.18 \text{ nF}$$

(2) 電位差：$Q = CV$ より $V = Q/C$。電荷 $Q = 1.0 \times 10^{-8}$ C のとき：

$$V = \frac{Q}{C} = \frac{Qd}{\varepsilon_0 S} = \frac{1.0 \times 10^{-8} \times 1.0 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12} \times 0.020} = \frac{1.0 \times 10^{-11}}{1.77 \times 10^{-13}} \fallingdotseq 56.5 \text{ V}$$

(3) 電場：

$$E = \frac{V}{d} = \frac{56.5}{1.0 \times 10^{-3}} = 5.65 \times 10^4 \text{ V/m}$$

(4) 静電エネルギー：

$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S} = \frac{(1.0 \times 10^{-8})^2}{2 \times 1.77 \times 10^{-10}} = \frac{1.0 \times 10^{-16}}{3.54 \times 10^{-10}} \fallingdotseq 2.82 \times 10^{-7} \text{ J}$$

(5)-(7) 極板をわずかに $x$ だけ引き離す（$Q$ 一定）：

間隔が $d + x$ になると $C' = \varepsilon_0 S/(d+x)$ に減少し、エネルギーは：

$$U' = \frac{Q^2(d+x)}{2\varepsilon_0 S}$$

エネルギー増加分：$\Delta U = U' - U = \dfrac{Q^2 x}{2\varepsilon_0 S}$

外力の仕事：$W = \Delta U = \dfrac{Q^2 x}{2\varepsilon_0 S}$

引力 $F$（$x$ で微分）：

$$F = \frac{dU}{dx} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{(1.0 \times 10^{-8})^2}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.020} = \frac{1.0 \times 10^{-16}}{3.54 \times 10^{-13}} \fallingdotseq 2.82 \times 10^{-4} \text{ N}$$

別解：電場を使った引力の導出

片方の極板が作る電場 $E_1 = \dfrac{Q}{2\varepsilon_0 S}$（片側の極板のみ）が他方の電荷 $Q$ に及ぼす力として：

$$F = QE_1 = Q \cdot \frac{Q}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$$

$E/2$ を使うのは、一方の極板が「もう一方の極板の位置に作る電場」は全体の $E$ の半分だからです。