金属板挿入の効果

設問(1) 電気容量：金属板内部 $E = 0$ なので実効距離は $d - t$：

$$C' = \varepsilon_0 \frac{S}{d - t}$$

設問(2) S閉（$V$ 一定）で金属板挿入：

$V$ 不変のまま $C$ が増加するので、電池から追加の電荷が供給されます：

$$Q' = C'V = \frac{\varepsilon_0 S}{d - t} \cdot V = \frac{d}{d - t}\,Q_0 \quad (\text{増加})$$ $$E' = \frac{V}{d - t} = \frac{d}{d - t}\,E_0 \quad (\text{増加})$$

設問(3) S開（$Q$ 一定）で金属板挿入：

$Q$ 不変のまま $C$ が増加するので、$V$ は減少：

$$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q(d-t)}{\varepsilon_0 S} = \frac{d-t}{d}\,V_0 \quad (\text{減少})$$

電場は $E = \sigma / \varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S)$ で $Q$ と $S$ が不変なので：

$$E' = E_0 \quad (\text{不変})$$

別解：直列合成で導出

金属板を入れると、上下に2つのコンデンサーが直列になったと考えられます：

$$\frac{1}{C'} = \frac{d_1}{\varepsilon_0 S} + \frac{d_2}{\varepsilon_0 S} = \frac{d_1 + d_2}{\varepsilon_0 S} = \frac{d - t}{\varepsilon_0 S}$$

$d_1 + d_2 = d - t$（金属板の厚さ $t$ を除いた距離の合計）となるため、金属板の位置によらず $C' = \varepsilon_0 S/(d-t)$。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$