応用問題392 平行板コンデンサーへの誘電体挿入

設問(1)(2)　誘電体挿入による各量の変化

直感的理解
誘電体は電場を弱める（分極して逆向き電場をつくる）。挿入すると $C$ が $\varepsilon_r$ 倍。S閉（$V$ 一定）なら電池が追加電荷を供給し $Q$ が $\varepsilon_r$ 倍、$E$ は不変。S開（$Q$ 一定）なら $V$ と $E$ が $1/\varepsilon_r$ 倍に減少。

設問(1) S閉（$V$ 一定）で誘電体を全部挿入：

$$C' = \varepsilon_r C_0, \quad Q' = C'V = \varepsilon_r Q_0, \quad E' = \frac{V}{d} = E_0 \;(\text{不変})$$ $$U' = \frac{1}{2}C'V^2 = \varepsilon_r U_0$$

設問(2) S開（$Q$ 一定）で誘電体を全部挿入：

$$C' = \varepsilon_r C_0, \quad V' = \frac{Q}{C'} = \frac{V_0}{\varepsilon_r}, \quad E' = \frac{V'}{d} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$$ $$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{U_0}{\varepsilon_r}$$

設問(3) 誘電体を半分だけ挿入：

面積を半分ずつに分けて並列接続とみなします：

$$C' = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S/2}{d} + \varepsilon_0 \frac{S/2}{d} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2}\,C_0$$
答え：
$C$$Q$$V$$E$$U$
S閉$\varepsilon_r$ 倍$\varepsilon_r$ 倍不変不変$\varepsilon_r$ 倍
S開$\varepsilon_r$ 倍不変$1/\varepsilon_r$$1/\varepsilon_r$$1/\varepsilon_r$
答え：
$$C' = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} C_0$$
補足：部分挿入が並列になる理由

誘電体が面積の半分を占める場合、誘電体部分と真空部分は同じ電圧がかかります（上下の極板がそれぞれ等電位だから）。同じ電圧 → 並列接続。よって合成容量は各部の容量の和です。

一方、誘電体を上半分だけ入れた場合（隙間の一部を埋める）は直列になります。同じ面積を通る電束が連続 → 同じ $Q$ → 直列。

Point

誘電体挿入は $C$ を $\varepsilon_r$ 倍にする。面積を分ける → 並列、距離を分ける → 直列。部分挿入はこの分類で合成容量を求める。

具体的な数値計算

平行板コンデンサー（面積 \(S\)、極板間隔 \(d = 2.0\) mm、電圧 \(V = 100\) V）の容量 \(C_0 = 2.0 \times 10^{-11}\) F とし、比誘電率 \(\varepsilon_r = 3.0\) の誘電体を挿入します。

Sを閉じたまま（V一定）：容量は \(\varepsilon_r\) 倍になるので

$$C = \varepsilon_r C_0 = 3.0 \times 2.0 \times 10^{-11} = 6.0 \times 10^{-11} \text{ F}$$ $$Q = CV = 6.0 \times 10^{-11} \times 100 = 6.0 \times 10^{-9} \text{ C}$$

Sを開いた後（Q一定）：挿入前の電荷 \(Q_0 = C_0 V_0 = 2.0 \times 10^{-9}\) C を保ったまま容量が 3 倍になるので電圧は \(1/3\)：

$$V' = \frac{Q_0}{\varepsilon_r C_0} = \frac{V_0}{\varepsilon_r} = \frac{100}{3.0} \fallingdotseq 33 \text{ V}$$

電場も \(E' = V'/d\) で \(1/3\) 倍に減少します。