設問(1)(2)　誘電体内の電場と分極電荷

誘電体内の電場：

真電荷による電場 $E_0 = \sigma / \varepsilon_0$ に対し、分極電荷が逆向きの電場 $E_p = \sigma_p / \varepsilon_0$ をつくる：

$$E' = E_0 - E_p = \frac{\sigma - \sigma_p}{\varepsilon_0}$$

誘電体の定義 $E' = E_0 / \varepsilon_r$ より：

$$\frac{\sigma - \sigma_p}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_r \varepsilon_0}$$

分極電荷密度：上式を $\sigma_p$ について解くと：

$$\sigma_p = \sigma - \frac{\sigma}{\varepsilon_r} = \sigma\left(1 - \frac{1}{\varepsilon_r}\right)$$

数値例：$\sigma = 5.0 \times 10^{-6}$ C/m$^2$、$\varepsilon_r = 4.0$ のとき：

$$E_0 = \frac{5.0 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} = 5.65 \times 10^{5} \text{ V/m}$$ $$E' = \frac{5.65 \times 10^{5}}{4.0} = 1.41 \times 10^{5} \text{ V/m}$$ $$\sigma_p = 5.0 \times 10^{-6} \times \left(1 - \frac{1}{4.0}\right) = 5.0 \times 10^{-6} \times 0.75 = 3.75 \times 10^{-6} \text{ C/m}^2$$

設問(3)　一部に誘電体を入れた場合

厚さ $t$ の誘電体（比誘電率 $\varepsilon_r$）を極板間に入れた場合を考えます。

電束密度の連続性から、真空部分と誘電体部分で $D = \sigma$（一定）：

$$D = \varepsilon_0 E_\text{vac} = \varepsilon_r \varepsilon_0 E_\text{die} = \sigma$$

よって各領域の電場は：

$$E_\text{vac} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \quad E_\text{die} = \frac{\sigma}{\varepsilon_r \varepsilon_0}$$

電位差：真空部分の厚さ $(d-t)$ と誘電体部分の厚さ $t$ に対して

$$V = E_\text{vac}(d-t) + E_\text{die} \cdot t = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\left[(d-t) + \frac{t}{\varepsilon_r}\right]$$

電気容量：$\sigma = Q/S$ より $V = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}\left[(d-t) + \frac{t}{\varepsilon_r}\right]$ なので

$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0 S}{(d-t) + t/\varepsilon_r}$$

数値計算：$S = 0.020$ m$^2$、$d = 2.0 \times 10^{-3}$ m、$t = 1.0 \times 10^{-3}$ m、$\varepsilon_r = 4.0$ のとき：

有効距離：

$$(d-t) + \frac{t}{\varepsilon_r} = (2.0 - 1.0) \times 10^{-3} + \frac{1.0 \times 10^{-3}}{4.0} = 1.0 \times 10^{-3} + 0.25 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{-3} \text{ m}$$

電気容量：

$$C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.020}{1.25 \times 10^{-3}} = 1.42 \times 10^{-10} \text{ F} = 142 \text{ pF}$$

（誘電体なしの場合 $C_0 = \varepsilon_0 S / d = 88.5$ pF なので、誘電体挿入により容量が $142/88.5 = 1.6$ 倍に増加）

別解：直列合成で導出

真空部分の容量 $C_1 = \varepsilon_0 S/(d-t)$、誘電体部分 $C_2 = \varepsilon_r \varepsilon_0 S/t$ の直列接続：

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d-t}{\varepsilon_0 S} + \frac{t}{\varepsilon_r \varepsilon_0 S} = \frac{(d-t) + t/\varepsilon_r}{\varepsilon_0 S}$$

金属板挿入（$\varepsilon_r \to \infty$）では $t/\varepsilon_r \to 0$ となり $C = \varepsilon_0 S/(d-t)$ に一致します。

補足：金属板と誘電体の統一的理解

金属板は $\varepsilon_r = \infty$ の誘電体と考えることができます：

• 金属板：$E_\text{内部} = 0$, $C = \varepsilon_0 S/(d-t)$
• 誘電体：$E_\text{内部} = E_0/\varepsilon_r$, $C = \varepsilon_0 S/[(d-t)+t/\varepsilon_r]$

$\varepsilon_r \to \infty$ で誘電体の式が金属板の式に収束します。