基本問題378 比誘電率

比誘電率と電気容量

直感的理解
誘電体（絶縁体）を極板間に入れると、誘電体内の分子が分極して電場を弱めます。そのぶん「もっと電荷を蓄えられる」ようになるため、電気容量が $\varepsilon_r$ 倍に増えるのです。比誘電率 $\varepsilon_r$ は「真空に比べてどれだけ容量が増えるか」の倍率です。

設定：真空中の電気容量 $C_0 = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d}$、比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で極板間を満たす。

誘電体を入れたときの電気容量：

$$C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d} = \varepsilon_r \cdot C_0$$

例えば $\varepsilon_r = 5$、$C_0 = 180\;\text{pF}$ なら：

$$C = 5 \times 180 = 900\;\text{pF}$$
答え：
$$C = \varepsilon_r C_0 = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d}$$
補足：主な物質の比誘電率
物質 比誘電率 $\varepsilon_r$
真空1.0
空気1.0006
紙2 - 4
ガラス5 - 10
水約 80
Point

誘電体挿入で $C \to \varepsilon_r C_0$。$\varepsilon_r > 1$ なので容量は必ず増加する。空気は $\varepsilon_r \fallingdotseq 1$ なので真空と同じ扱いでよい。

🧮 数値計算で確認

\(B = 0.40\) T の磁場中を速さ \(v = 5.0\) m/s で移動する長さ \(l = 0.30\) m の導体棒：

$$\mathcal{E} = Blv = 0.40 \times 0.30 \times 5.0 = 0.60 \text{ V}$$ $$R = 3.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 \text{ A}$$ $$F = BIl = 0.40 \times 0.20 \times 0.30 = 0.024 \text{ N}$$