基本問題379 コンデンサーの直列接続

直列接続の合成容量

直感的理解
直列接続では同じ電荷 $Q$ が各コンデンサーに蓄えられます。電圧は $V = V_1 + V_2$ と分配されます。容量が小さい方に大きな電圧がかかります（$V = Q/C$ なので $C$ が小さいほど $V$ が大きい）。合成容量は個々の容量より小さくなります。

設定：$C_1 = 3.0\;\mu\text{F}$、$C_2 = 6.0\;\mu\text{F}$ を直列接続、全体に $V = 12\;\text{V}$

合成容量：

蓄えられる電荷：

各コンデンサーの電圧：

検算：$V_1 + V_2 = 8.0 + 4.0 = 12\;\text{V}$ ✓

答え：
$$C = 2.0\;\mu\text{F}, \quad Q = 24\;\mu\text{C}$$ $$V_1 = 8.0\;\text{V}, \quad V_2 = 4.0\;\text{V}$$
別解：電圧分配の公式

直列接続での電圧分配は、抵抗の分圧とは逆に「容量の逆数の比」で分かれます：

$$V_1 = V \cdot \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 12 \times \frac{6.0}{3.0 + 6.0} = 8.0\;\text{V}$$ $$V_2 = V \cdot \frac{C_1}{C_1 + C_2} = 12 \times \frac{3.0}{9.0} = 4.0\;\text{V}$$
Point

直列接続：$Q$ 共通、$V$ 分配。$\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$。合成容量は個々より小さくなる（抵抗の並列と同じ形の公式）。