基本問題382 金属板の挿入

金属板を挿入したコンデンサー

直感的理解
金属板内部では電場がゼロ。つまり電場が存在するのは金属板の外側だけで、実効的な極板間距離が $d - t$ に短縮されます。金属板の位置は関係なく、厚さ $t$ だけで容量が決まります。電池につないだまま（$V$ 一定）なら電場は $E = V/(d-t)$ に増加します。

設定：極板間距離 $d$、電気容量 $C_0$ のコンデンサーに、厚さ $t$ の金属板を挿入。電池接続中（$V$ 一定）。

電気容量の変化：実効距離が $d - t$ になるので：

$$C' = \varepsilon_0 \frac{S}{d - t}$$

$t = d/3$ の場合：

$$C' = \varepsilon_0 \frac{S}{d - d/3} = \varepsilon_0 \frac{S}{2d/3} = \frac{3}{2} \cdot \varepsilon_0 \frac{S}{d} = \frac{3}{2}\,C_0$$

電場の変化（$V$ 一定）：電場は隙間のみに存在し $E = V/(d-t)$ ：

$$E' = \frac{V}{d - d/3} = \frac{V}{2d/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{V}{d} = \frac{3}{2}\,E_0$$
答え：
$$C' = \frac{3}{2} C_0, \quad E' = \frac{3}{2} E_0$$
補足：電池を外してから挿入する場合（$Q$ 一定）

電池を外す（$Q$ 一定）場合は $C' = \dfrac{3}{2}C_0$ は同じですが、電場は変わりません：

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} = \text{不変}$$

$V$ は $V' = E(d-t) = \dfrac{2}{3}Ed = \dfrac{2}{3}V_0$ に減少します。

Point

金属板挿入 → 実効距離 $d - t$、$C' = \varepsilon_0 S/(d-t)$。金属板の位置は無関係、厚さだけで決まる。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$