基本問題383 誘電体の挿入

誘電体挿入と物理量の変化

直感的理解
誘電体を入れると $C$ は $\varepsilon_r$ 倍に増えます。電池接続中（$V$ 一定）なら電荷が増えて電場は不変。電池を外した後（$Q$ 一定）なら電圧と電場が $1/\varepsilon_r$ 倍に減少します。「何が一定か」で結果が正反対になります。

場合1：電池接続中（$V$ 一定）

容量は $C' = \varepsilon_r C_0$ に増加。$V$ は不変なので：

$$Q' = C'V = \varepsilon_r C_0 V = \varepsilon_r Q_0 \quad (\text{増加})$$ $$E' = \frac{V}{d} = E_0 \quad (\text{不変})$$

場合2：電池切断後（$Q$ 一定）

容量は $C' = \varepsilon_r C_0$ に増加。$Q$ は不変なので：

$$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{\varepsilon_r C_0} = \frac{V_0}{\varepsilon_r} \quad (\text{減少})$$ $$E' = \frac{V'}{d} = \frac{V_0}{\varepsilon_r d} = \frac{E_0}{\varepsilon_r} \quad (\text{減少})$$
答え：
補足：静電エネルギーの変化

$V$ 一定の場合：$U' = \dfrac{1}{2}C'V^2 = \varepsilon_r U_0$（増加）。電池がエネルギーを供給。

$Q$ 一定の場合：$U' = \dfrac{Q^2}{2C'} = \dfrac{U_0}{\varepsilon_r}$（減少）。減少分は誘電体を引き込む力がした仕事に対応。

Point

誘電体挿入問題は必ず最初に「$V$ 一定か $Q$ 一定か」を判断する。電池接続中 → $V$ 一定、電池切断後 → $Q$ 一定。