極板間に働く引力

設定：$S = 0.040\;\text{m}^2$、$d = 2.0 \times 10^{-3}\;\text{m}$、$V = 100\;\text{V}$

電気容量と電荷：

$$C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{0.040}{2.0 \times 10^{-3}} = 1.77 \times 10^{-10}\;\text{F}$$ $$Q = CV = 1.77 \times 10^{-10} \times 100 = 1.77 \times 10^{-8}\;\text{C}$$

電場：

$$E = \frac{V}{d} = \frac{100}{2.0 \times 10^{-3}} = 5.0 \times 10^4\;\text{V/m}$$

極板間の引力：一方の極板が感じる電場は相手の極板が作る $E/2$ なので：

$$F = Q \cdot \frac{E}{2} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 S = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times (5.0 \times 10^4)^2 \times 0.040$$ $$= \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 2.5 \times 10^9 \times 0.040 \fallingdotseq 4.4 \times 10^{-4}\;\text{N}$$

$V$, $d$ で表すと：

別解：エネルギーの仮想変位から導出

$Q$ 一定で極板間距離を $d$ から $d + \Delta d$ に微小変化させたとき：

$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S}$$ $$F = -\frac{dU}{dd} = -\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$$

負号は引力（$d$ を増やすと $U$ が増加、力は $d$ を縮める向き）を意味します。大きさは $F = \dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$。

補足：なぜ $E/2$ なのか

面電荷密度 $\sigma$ の無限平面が作る電場は片側に $\sigma/(2\varepsilon_0)$。一方の極板が作る電場は $E_1 = \sigma/(2\varepsilon_0)$。もう一方の極板が作る電場も $E_2 = \sigma/(2\varepsilon_0)$。極板間では $E_1 + E_2 = \sigma/\varepsilon_0 = E$。一方の極板が感じるのは「相手の」電場だけなので $F = Q \cdot E_2 = Q \cdot E/2$。