設問(1)　Sを開き極板間隔を2倍

条件：Sを開く → $Q$ 一定。$C = \varepsilon_0\dfrac{S}{d}$ で $d \to 2d$ なので：

$$C' = \varepsilon_0\frac{S}{2d} = \frac{C_0}{2}$$

$Q$ 一定のとき電位差は $V = Q/C$ なので：

$$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{C_0/2} = 2 \cdot \frac{Q}{C_0} = 2V_0$$

極板間の電位差は2倍になります。電場は $E = V/d$ で $V$ が2倍、$d$ が2倍なので $E$ は不変です。

設問(2)　Sを開いたまま誘電体挿入

Sを開いたまま（$Q$ 一定）で比誘電率 $\varepsilon_r = 5$ の誘電体を満たす：

$C \to \varepsilon_r C_0 = 5C_0$

蓄えられる電気量

$Q$ は一定なので変化なし。ただし $V$ が変わるため、$Q = C_0 V_0 = 5C_0 \cdot V_0/5$ で整合。

極板上の電場の強さ

$V, d$ が変わらないとき（Sを閉じた場合は $E$ 不変）。ここでは $Q$ 一定で $V \to V_0/5$ なので：

電場は変わらないか？ → いいえ。$Q$ 一定で $C$ が5倍になると、$V = Q/C$ が $1/5$ 倍。$E = V/d$ も $1/5$ 倍に。ただし問題では「Sを閉じたまま」誘電体を入れる場合：$V$ 一定なので $E = V/d$ 不変、$Q = CV$ が5倍。

補足：S開とS閉の場合分け

操作	S開（$Q$ 一定）	S閉（$V$ 一定）
$d \to 2d$	$C \to C/2$, $V \to 2V$, $E$ 不変	$C \to C/2$, $Q \to Q/2$, $E \to E/2$
誘電体挿入 ($\varepsilon_r$)	$C \to \varepsilon_r C$, $V \to V/\varepsilon_r$, $E \to E/\varepsilon_r$	$C \to \varepsilon_r C$, $Q \to \varepsilon_r Q$, $E$ 不変

具体的な数値計算

平行板コンデンサー（容量 \(C_0 = 4.0 \times 10^{-11}\) F, 間隔 \(d = 1.0\) mm, 面積 \(S\)）に電池 \(V_0 = 12\) V を接続した場合の初期電荷：

$$Q_0 = C_0 V_0 = 4.0 \times 10^{-11} \times 12 = 4.8 \times 10^{-10} \text{ C}$$

Sを開いて極板間隔を2倍（\(d \to 2d\)）に：容量は半分、電荷は不変、電圧は2倍：

$$C_1 = \frac{C_0}{2} = 2.0 \times 10^{-11} \text{ F}, \quad V_1 = \frac{Q_0}{C_1} = \frac{4.8 \times 10^{-10}}{2.0 \times 10^{-11}} = 24 \text{ V}$$

電場 \(E = V/d = Q/(\varepsilon_0 S)\) は \(Q\) と \(S\) で決まるので不変：

$$E_1 = \frac{24}{2.0 \times 10^{-3}} = 1.2 \times 10^{4} \text{ V/m} = \frac{V_0}{d} = E_0$$

極板間隔を広げた分だけ電圧は増えますが、電場の強さは変わりません。