金属板挿入後の電場と電気容量

金属板の性質：金属（導体）の内部では電場は 0 です。

電場の強さ

電池につないだまま（\(V\) 一定）の場合を考えます。金属板内部は \(E = 0\) なので、電場が存在するのは金属板の外側の領域（厚さ \(d - t\)）のみです。

極板間の電位差は \(V\) のまま変わらないので、金属板外部の電場 \(E'\) は：

$$V = E'(d - t) \quad \Rightarrow \quad E' = \frac{V}{d - t}$$

厚さ \(t = d/2\) の金属板を挿入すると：

$$E' = \frac{V}{d - d/2} = \frac{V}{d/2} = \frac{2V}{d}$$

元の電場 \(E_0 = V/d\) に対して 2 倍になります。

電気容量

金属板を入れると、実効的な極板間距離が \(d - t\) に短縮されたコンデンサーと等価です。元の電気容量 \(C = \varepsilon_0 S / d\) に対して：

$$C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d - t}$$

\(t = d/2\) のとき：

$$C' = \frac{\varepsilon_0 S}{d - d/2} = \frac{\varepsilon_0 S}{d/2} = \frac{2\varepsilon_0 S}{d} = 2C$$

補足：金属板の位置による影響

金属板を極板間のどこに置いても、電気容量 $C' = \varepsilon S/(d-t)$ は変わりません。これは直列合成の計算で確かめられます。金属板内部の電場はゼロなので、実効的に距離 $t$ 分だけ極板間が縮んだのと等価です。