基本例題74 コンデンサーの接続

設問(1)　$C_1$ の充電

直感的理解
まず a 側に倒して $C_1$ を満充電（$Q = C_1 V = 6.0$ C）。次に b 側に倒すと $C_1$ の電荷が $C_2$ に流れ込みます。最終的に $V_1 = V_2$ になったとき流れが止まります。

S を a 側に倒す：$C_1$ に電圧 $E = 6.0$ V がかかり充電。

答え（設問1）：
$$Q = 6.0 \text{ C}$$
Point

$Q = CV$ の基本式。電池に接続されたコンデンサーの電圧は電池の起電力に等しい。

設問(2)　S を b 側に切り替え後の $C_1$ の電気量

直感的理解
電池が切り離された状態で $C_1$ と $C_2$ をつなぐと、電荷が分配されます。最終状態では両コンデンサーの電圧が等しくなります。全電荷は保存されるので、$Q_1 + Q_2 = Q$ と $V_1 = V_2$ を連立して解きます。

条件：

$Q_2 = 2Q_1$ を電荷保存の式に代入：

$$Q_1 + 2Q_1 = 6.0 \quad \therefore \quad 3Q_1 = 6.0 \quad \therefore \quad Q_1 = 2.0\;\text{C}$$ $$Q_2 = 2 \times 2.0 = 4.0\;\text{C}$$

共通電圧：$V' = Q_1/C_1 = 2.0/1.0 = 2.0$ V（検算：$Q_2/C_2 = 4.0/2.0 = 2.0$ V ✓）

答え：
$$Q_1 = 2.0 \text{ C}$$
補足：電場と電位の関係

一様電場中では $E = -\frac{\Delta V}{\Delta d}$ の関係があります。電位が高い方から低い方へ電場が向き、等電位面は電場に垂直です。

Point

コンデンサーの接続問題では2つの条件を立てる：(1) 電荷保存 $Q_1 + Q_2 = Q_\text{全}$、(2) 電圧の関係（並列なら等しい、直列なら電荷が等しい）。