直感的理解

$R_1$ と $R_2$ の並列合成に $R_3$ が直列でつながっている回路です。まず並列部分を計算し、それに $R_3$ を足します。

電圧： 12 V

$R_1$ と $R_2$ の並列合成抵抗：

$$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

全体の合成抵抗：$R_{12}$ に $R_3$ が直列

$$R = R_3 + R_{12} = R_3 + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

通分して整理すると：

$$R = \frac{R_3(R_1 + R_2) + R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1 + R_2}$$

答え：
$$R = R_3 + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1 + R_2}$$

Point

複合回路の合成抵抗は、並列部分を先に計算してから直列に足す。段階的に計算すればシンプル。

直感的理解

まず回路全体の電流 $I$ を求め、次に並列部分での分流の法則を使って $R_1$ を流れる電流を求めます。電流は抵抗値の逆比で分かれます。

回路全体の電流：

$$I = \frac{E}{R} = \frac{E(R_1 + R_2)}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$$

分流の法則：$R_1$ と $R_2$ の並列部分では、$R_1$ に流れる電流は

$$I_1 = I \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

代入すると：

$$I_1 = \frac{E(R_1 + R_2)}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{ER_2}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$$

答え：
$$I_1 = \frac{ER_2}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3} = \frac{ER_2}{R_1(R_2 + R_3) + R_2 R_3}$$

Point

分流の法則：並列接続された2つの抵抗 $R_1, R_2$ に電流 $I$ が流れるとき、$I_1 = I \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$。相手側の抵抗を分子にする点に注意。

直感的理解

$R_2 = 0$ のとき $R_1$ が短絡され $I_1 = 0$。$R_2 \to \infty$ のとき並列部分は $R_1$ のみとなり $I_1 \to E/(R_1 + R_3) = E/(2R)$。よって $I_1$ は原点を通って単調増加し、一定値に漸近するグラフです。

$R_1 = R_3$ の場合、$I_1 = \dfrac{ER_2}{R_1R_2 + R_1^2 + R_2R_1} = \dfrac{ER_2}{2R_1R_2 + R_1^2}$

極限を調べる：

グラフは原点を通り、$E/(2R_1)$ に漸近する単調増加曲線です。

答え：
選択肢②（原点を通り漸近的に $E/(2R_1)$ に近づく曲線）

補足：$I_1$ の微分で単調増加を確認

$R_1 = R_3 = R$ とおくと、$I_1 = \dfrac{ER_2}{R^2 + 2RR_2}$

$R_2$ で微分すると：

$$\frac{dI_1}{dR_2} = \frac{E \cdot R^2}{(R^2 + 2RR_2)^2} > 0$$

常に正なので単調増加です。また $R_2 \to \infty$ で $I_1 \to E/(2R)$ に漸近します。

Point

可変抵抗のグラフ選択問題では、$R_2 \to 0$ と $R_2 \to \infty$ の2つの極限を調べれば、正しいグラフを絞り込める。

応用問題407 抵抗の接続