応用問題425 キルヒホッフの法則

設問(1)　可変抵抗Rの値

直感的理解
2つの電池と3つの枝路がある回路です。各枝路に電流の向きを仮定し、交点でキルヒホッフ第一法則（電流の保存）、閉回路でキルヒホッフ第二法則（電圧の保存）を立てて連立方程式を解きます。

電流の向きを仮定：$I_1$（20Ω）、$I_2$（R）、$I_3$（5.0Ω）

キルヒホッフ第一法則（交点P）：

$$I_2 = I_1 + I_3 \quad \cdots\text{(1')}$$

キルヒホッフ第二法則（左ループ）：

$$30 = 20I_1 + 5.0I_3 \quad \cdots\text{(2)}$$

キルヒホッフ第二法則（右ループ）：

$$20 = RI_2 - 5.0I_3 \quad \cdots\text{(3')}$$

$I_1 = 0.50\;\text{A}$ を式(2)に代入：

式(1)より：$I_2 = I_1 - I_3 = 0.50 - 4.0 = -3.5\;\text{A}$

$I_2$ が負なので、仮定した向きと逆に電流が流れています。式(3)に代入：

電流の向きの仮定を再確認します。実際の回路図を正確に読み取ると：

スイッチSを閉じた後の正しい連立方程式：

$I_1 = 0.50\;\text{A}$ を(2)に代入：$I_3 = 4.0\;\text{A}$

(1')より：$I_2 = 0.50 + 4.0 = 4.5\;\text{A}$

(3')より：$20 = 4.5R - 5.0 \times 4.0 = 4.5R - 20$、$4.5R = 40$、$R = \dfrac{40}{4.5} \fallingdotseq 8.9\;\Omega$

答え：
$$R \fallingdotseq 8.9 \;\Omega$$
Point

キルヒホッフの法則の連立方程式で、電流の向きの仮定が重要。解が負になったら向きが逆であることを意味する。

設問(2)　5.0Ωを流れる電流を0にする条件

直感的理解
5.0Ωに電流が流れない ＝ 両端の電位が等しい。これはホイートストンブリッジの平衡条件に似た状況です。$I_3 = 0$ を各方程式に代入すれば $R$ が求まります。

$I_3 = 0$ のとき、$I_1 = I_2$（ = $I$ とおく）

式(2)：$30 = 20I$、$I = 1.5\;\text{A}$

式(3')：$20 = RI - 0 = 1.5R$、$R = \dfrac{20}{1.5} \fallingdotseq 13\;\Omega$

答え：
$$R \fallingdotseq 13 \;\Omega, \quad I = 1.5 \;\text{A}$$
Point

$I_3 = 0$ の条件は連立方程式を大幅に簡単化する。$I_1 = I_2$ となり、各ループの式を独立に解ける。

設問(3)　$R = 4.0\;\Omega$ のとき

直感的理解
$R$ が平衡値（$\fallingdotseq 13\;\Omega$）より小さいと、右枝路の電圧降下が小さくなり、Pの電位がQより高くなるため、5.0Ωには P → Q の向きに電流が流れます。

$R = 4.0\;\Omega$ を連立方程式に代入します：

式(2)：$30 = 20I_1 + 5.0I_3$ … (2)

式(3')：$20 = 4.0I_2 - 5.0I_3$ … (3')

式(1')：$I_2 = I_1 + I_3$ … (1')

(1')を(3')に代入：$20 = 4.0(I_1 + I_3) - 5.0I_3 = 4.0I_1 - I_3$

→ $I_3 = 4.0I_1 - 20$ … (4)

(4)を(2)に代入：$30 = 20I_1 + 5(4I_1 - 20) = 40I_1 - 100$

→ $40I_1 = 130$、$I_1 = 3.25\;\text{A}$

→ $I_3 = 4.0(3.25) - 20 = -7.0\;\text{A}$

$I_3 < 0$ なので、5.0Ωを流れる電流は仮定と逆向き。

答え：
5.0Ωの抵抗を流れる電流の向きは Q → P（P → S → Q と逆向き）
補足：電場と電位の関係

一様電場中では $E = -\frac{\Delta V}{\Delta d}$ の関係があります。電位が高い方から低い方へ電場が向き、等電位面は電場に垂直です。

Point

$R$ が平衡値（$I_3 = 0$ となる値）より大きいか小さいかで、中央枝路の電流の向きが変わる。電流が負 ＝ 仮定と逆向き。