自由電子のドリフトと電流

設問(1)：断面積 $S$ [m²] の導体、自由電子密度 $n$ [個/m³]、ドリフト速度 $v_d$ [m/s]

時間 $\Delta t$ の間に断面を通過する電子数は、長さ $v_d \Delta t$ の円柱体積中の電子数です：

$$N = n \times S \times v_d \Delta t$$

これらの電子が運ぶ電荷量は $\Delta Q = eN = enSv_d \Delta t$ なので、電流は：

$$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{enSv_d \Delta t}{\Delta t} = enSv_d$$

設問(2)：長さ $L$ の導体に電圧 $V$ を加えたとき、導体内部の電場の強さは：

$$E = \frac{V}{L}$$

（一様電場なので電位差 ÷ 距離）

設問(3)：オームの法則 $V = IR$ より $R = V/I$。また $R = \rho L/S$ なので：

$$\frac{V}{I} = \rho \frac{L}{S}$$

$V = EL$、$I = enSv_d$ を代入すると：

$$\frac{EL}{enSv_d} = \rho \frac{L}{S}$$

両辺の $L/S$ を消して：

$$\rho = \frac{E}{env_d} = \frac{E}{nev_d}$$

設問(4)：温度が上昇すると格子振動が激しくなり、自由電子の衝突頻度が増加するため、$v_d$ が小さくなります。$\rho = E/(nev_d)$ より $v_d$ が減少すると抵抗率は増加します。

補足：温度係数

$\rho(T) = \rho_0(1 + \alpha \Delta T)$ で近似でき、金属では $\alpha > 0$（温度上昇で抵抗率増加）。半導体では逆に温度上昇で抵抗率が減少します。

具体的な数値計算

長さ \(L = 2.0\) m、断面積 \(S = 1.0 \times 10^{-6}\) m² の銅線（\(\rho = 1.7 \times 10^{-8}\) Ω·m、自由電子密度 \(n = 8.5 \times 10^{28}\) 個/m³）に \(I = 0.50\) A の電流が流れているとき：

抵抗：

$$R = \rho \frac{L}{S} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{2.0}{1.0 \times 10^{-6}} = 3.4 \times 10^{-2} \text{ Ω}$$

両端の電圧：

$$V = IR = 0.50 \times 3.4 \times 10^{-2} = 1.7 \times 10^{-2} \text{ V} = 17 \text{ mV}$$

電子のドリフト速度 \(v_d\)：\(I = enSv_d\) より \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C を代入：

$$v_d = \frac{I}{enS} = \frac{0.50}{1.6 \times 10^{-19} \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.0 \times 10^{-6}} \fallingdotseq 3.7 \times 10^{-5} \text{ m/s}$$

電流は瞬時に伝わりますが、電子自体は 1 秒間にわずか 0.04 mm 程度しか移動しません。