直感的理解

$R$ が小さすぎると電流は大きいが $R$ 自体が小さいので電力は小さい。$R$ が大きすぎると電流が小さくなり電力も小さい。$R = r$ のとき、この2つのバランスが最適になり電力が最大になります（インピーダンス整合）。

グラフ上をドラッグして R の値を変更できます。

外部抵抗での消費電力：

$$P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$$

最大条件：$\dfrac{dP}{dR} = 0$ を解くと、商の微分より

$$\frac{dP}{dR} = E^2 \cdot \frac{(R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = E^2 \cdot \frac{r - R}{(R+r)^3} = 0$$

よって $R = r$ のとき $P$ は最大。

最大電力：$R = r$ を代入すると

$$P_{\max} = \frac{E^2 \cdot r}{(r+r)^2} = \frac{E^2 r}{4r^2} = \frac{E^2}{4r}$$

答え：
(1) $P = \dfrac{E^2 R}{(R+r)^2}$
(2) $R = r$ のとき $P$ は最大
(3) $P_{\max} = \dfrac{E^2}{4r}$

別解：相加相乗平均を用いる方法

$P = \dfrac{E^2}{(R+r)^2/R} = \dfrac{E^2}{R + 2r + r^2/R}$

分母を最小化：$R + r^2/R \geq 2\sqrt{R \cdot r^2/R} = 2r$（等号は $R = r$）

よって $P \leq \dfrac{E^2}{4r}$、$R = r$ のとき最大。

Point

外部抵抗の消費電力が最大になるのは $R = r$（整合条件）。$P_{\max} = E^2/(4r)$。微分でも相加相乗でも示せる。

🧮 具体的な数値例

たとえば質量 $m = 3.0$ kg の物体に $F = 6.0$ N の力を加えた場合：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0 \text{ m/s}^2$$ $$t = 5.0 \text{ s 後の速度：} v = at = 2.0 \times 5.0 = 10 \text{ m/s}$$

基本問題415 電力