設問(1)(2)(3)　キルヒホッフの法則の適用

電流の仮定：$R_1$を左向きに流れる電流を$I$、$R_3$を上から下に流れる電流を$I'$とする。

法則I（点P）：$R_2$を流れる電流は $I - I'$ [A]

(1) $E_1R_3R_1$の閉回路（法則II）：

$E_1$ を含む閉回路を一周すると、起電力の和 = 電圧降下の和 より

$$E_1 = R_1 I + R_3 I'$$

$E_1 = 12.0$ V、$R_1 = 3.0\;\Omega$、$R_3 = x\;\Omega$ を代入すると

$$12.0 = 3.0\,I + x\,I' \quad \cdots\text{①}$$

(2) $E_2R_3R_2$の閉回路（法則II）：

$E_2$ を含む閉回路を一周すると、$R_2$ に流れる電流は $I - I'$ であり、$R_3$ の電圧降下は $I'$ の向きと逆に一周するので

$$E_2 = R_2(I - I') - R_3 I'$$

$E_2 = 6.0$ V、$R_2 = 6.0\;\Omega$ を代入すると

$$6.0 = 6.0(I - I') - x\,I' \quad \cdots\text{②}$$

(3) 連立方程式を解く：

①より $I$ を $I'$ で表すと

$$I = \frac{12.0 - x\,I'}{3.0} \quad \cdots\text{③}$$

③を②に代入すると

$$6.0 = 6.0\!\left(\frac{12.0 - x\,I'}{3.0} - I'\right) - x\,I'$$ $$6.0 = 2(12.0 - x\,I') - 6.0\,I' - x\,I' = 24.0 - 2x\,I' - 6.0\,I' - x\,I'$$ $$6.0 = 24.0 - (3x + 6.0)\,I'$$

$I'$ について解くと

$$(3x + 6.0)\,I' = 18.0 \quad \Rightarrow \quad I' = \frac{18.0}{3(x + 2.0)} = \frac{6.0}{x + 2.0} \text{ [A]}$$

③に戻して $I$ を求めると

$$I = \frac{12.0 - x \cdot \dfrac{6.0}{x+2.0}}{3.0} = \frac{\dfrac{12.0(x+2.0) - 6.0x}{x+2.0}}{3.0} = \frac{6.0x + 24.0}{3.0(x+2.0)} = \frac{2(x + 4.0)}{x + 2.0} \text{ [A]}$$

補足：具体的な数値例

$x = 6.0\;\Omega$のとき：

$$I' = \frac{6.0}{6.0 + 2.0} = 0.75 \text{ A}, \quad I = \frac{2 \times 10.0}{8.0} = 2.5 \text{ A}$$

$R_2$を流れる電流：$I - I' = 2.5 - 0.75 = 1.75$ A