設問(1)　回路を流れる電流

キルヒホッフの第二法則（閉回路の電圧則）より、起電力 = 電圧降下の総和：

$$E = I(R + r)$$

これを $I$ について解くと、

$$I = \frac{E}{R + r}$$

設問(2)　端子電圧

端子電圧は外部抵抗 $R$ にかかる電圧なので、

$$V = IR = \frac{E}{R+r} \cdot R = \frac{RE}{R+r}$$

あるいは、$E = V + Ir$ から、

$$V = E - Ir = E - \frac{E}{R+r} \cdot r = E\left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = \frac{RE}{R+r}$$

設問(3)　全回路の消費電力 $P_0$

電池が単位時間あたりに供給するエネルギー（電力）は、

$$P_0 = EI = E \cdot \frac{E}{R+r} = \frac{E^2}{R+r}$$

設問(4)　可変抵抗で消費される電力 $P_1$

可変抵抗 $R$ で消費されるジュール熱（電力）は、

$$P_1 = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$$

設問(5)　$P_1$ の最大値とそのときの $R$

$P_1$ を変形して最小化の準備をします。

$$P_1 = \frac{E^2 R}{(R+r)^2} = \frac{E^2}{\dfrac{(R+r)^2}{R}} = \frac{E^2}{R + 2r + \dfrac{r^2}{R}}$$

$P_1$ を最大にするには、分母 $f(R) = R + 2r + \dfrac{r^2}{R}$ を最小にすればよい。

相加平均・相乗平均の関係（$R > 0$, $r^2/R > 0$）を適用：

$$R + \frac{r^2}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{r^2}{R}} = 2r$$

等号成立条件は $R = \dfrac{r^2}{R}$、すなわち $R = r$ のとき。

このとき分母の最小値は $r + 2r + r = 4r$ なので、

$$P_{1,\text{max}} = \frac{E^2}{4r}$$

別解：微分による最大値の導出

$P_1 = \dfrac{E^2 R}{(R+r)^2}$ を $R$ で微分して 0 とおきます。商の微分公式より：

$$\frac{dP_1}{dR} = E^2 \cdot \frac{(R+r)^2 \cdot 1 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = E^2 \cdot \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = E^2 \cdot \frac{r - R}{(R+r)^3}$$

$\dfrac{dP_1}{dR} = 0$ とすると $r - R = 0$、すなわち $R = r$。

$R < r$ のとき $\dfrac{dP_1}{dR} > 0$（増加）、$R > r$ のとき $\dfrac{dP_1}{dR} < 0$（減少）なので、$R = r$ で極大かつ最大。

設問(6)　$P_0 - P_1$ の物理的意味

全電力 $P_0$ と外部電力 $P_1$ の差を計算すると、

$$P_0 - P_1 = EI - I^2 R = I(E - IR) = I \cdot Ir = I^2 r$$

これは内部抵抗 $r$ で消費される電力（ジュール熱）です。

エネルギー保存則から当然の結果で、

$$P_0 = P_1 + P_r \quad \Leftrightarrow \quad EI = I^2 R + I^2 r$$

補足：エネルギー効率の観点

外部抵抗に供給される電力の効率は、

$$\eta = \frac{P_1}{P_0} = \frac{I^2 R}{EI} = \frac{IR}{E} = \frac{R}{R+r}$$

$R = r$ のとき $\eta = 50\%$。電力最大の条件ではエネルギー効率は 50% しかありません。$R \gg r$ にすると効率は 100% に近づきますが、供給電力自体は小さくなります。