設問(1)(2)(3)　各辺の力と合力

設問(1)：各辺の力の向き

• AB（距離 $d$, 電流はIと同方向）：直線電流に向かう方向（引力）
• CD（距離 $d + a$, 電流はIと同方向）：直線電流に向かう方向（引力）...ではなく、CDの電流方向を確認 → CDはABと逆向きの電流が流れるので、逆向き → 斥力
• BC, DA：直線電流に平行な成分なし → 力はコイル面内で上下に働くが互いに打ち消し合う

設問(2)：辺ABに働く力

直線電流が距離 $d$ につくる磁場：

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$$

辺AB（長さ $a$、電流 $i$）がこの磁場から受ける力：

$$F_1 = B_1 \cdot i \cdot a = \frac{\mu_0 I i a}{2\pi d}$$

設問(3)：辺CDに働く力

距離 $d + a$ における磁場と力：

$$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d + a)}, \quad F_2 = \frac{\mu_0 I i a}{2\pi (d + a)}$$

合力：$F_1$ は引力（直線電流に近づく向き）、$F_2$ は斥力（遠ざかる向き）なので：

$$F = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 I i a}{2\pi d} - \frac{\mu_0 I i a}{2\pi (d + a)} = \frac{\mu_0 I i a}{2\pi} \cdot \frac{a}{d(d + a)} = \frac{\mu_0 I i a^2}{2\pi d(d + a)}$$

補足：$d \gg a$ のときの近似

$d \gg a$ のとき $d(d+a) \fallingdotseq d^2$ なので：

$$F \fallingdotseq \frac{\mu_0 I i a^2}{2\pi d^2}$$

これは磁気双極子が不均一磁場から受ける力 $F = m \dfrac{\partial B}{\partial x}$（$m = ia^2$ は磁気モーメント）に一致します。

具体的な数値計算

直線電流 \(I_1 = 10\) A から距離 \(a = 0.10\) m に、一辺 \(L = 0.20\) m の正方形コイル（電流 \(I_2 = 2.0\) A）の近い辺AB があり、遠い辺CDは \(a + L = 0.30\) m の位置にあるとします。

直線電流がつくる磁場：

$$B_{AB} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.10} = 2.0 \times 10^{-5} \text{ T}$$ $$B_{CD} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi (a+L)} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.30} \fallingdotseq 6.7 \times 10^{-6} \text{ T}$$

各辺に働く力：

$$F_{AB} = B_{AB} I_2 L = 2.0 \times 10^{-5} \times 2.0 \times 0.20 = 8.0 \times 10^{-6} \text{ N（引力）}$$ $$F_{CD} = B_{CD} I_2 L = 6.7 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 0.20 \fallingdotseq 2.7 \times 10^{-6} \text{ N（斥力）}$$

合力：

$$F = F_{AB} - F_{CD} = 8.0 \times 10^{-6} - 2.7 \times 10^{-6} \fallingdotseq 5.3 \times 10^{-6} \text{ N}$$

コイルは直線電流の方向へ引き寄せられます。