設問(1)〜(3)　基本的性質

(1) 電荷の正負：

磁場は紙面の裏から表（×印＝紙面裏向き）で、粒子は反時計回りに運動する。フレミングの左手の法則（ローレンツ力 $\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$）より、この回転方向が成り立つのは電荷が正のとき。

(2) 磁場から受ける力：

速さ $v_0$ の荷電粒子が磁束密度 $B$ の磁場中で受けるローレンツ力は、速度と磁場が垂直なので：

$$F = qv_0 B$$

この力は常に速度に垂直（向心力として働く）なので、粒子の速さは変えず方向のみ変える。

数値例：陽子（$q = 1.6 \times 10^{-19}$ C）が $v_0 = 5.0 \times 10^{6}$ m/s、$B = 0.50$ T の磁場中で受ける力：

$$F = 1.6 \times 10^{-19} \times 5.0 \times 10^{6} \times 0.50 = 4.0 \times 10^{-13} \text{ N}$$

(3) 最初の円軌道の半径：

ローレンツ力が円運動の向心力となる条件：

$$qv_0 B = \frac{mv_0^2}{r_0}$$

$r_0$ について解くと：

$$r_0 = \frac{mv_0}{qB}$$

数値例：陽子（$m = 1.67 \times 10^{-27}$ kg）の場合：

$$r_0 = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 5.0 \times 10^{6}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.50} = \frac{8.35 \times 10^{-21}}{8.0 \times 10^{-20}} = 0.10 \text{ m}$$

設問(4)(5)　周期とエネルギー

(4) ディー内の半周時間：

円運動の周期は $T = 2\pi r / v$ であり、$r = mv/(qB)$ を代入すると：

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$$

半周（ディー内を半円移動する）に要する時間は：

$$\frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$

この時間は速さ $v$ に依存しない。よって高周波電圧の周期を $T = 2\pi m/(qB)$ に一致させれば、粒子が間隙に到達するたびに加速方向の電場がかかる。

(5) 間隙を通過するたびのエネルギー増加：

ディー間の電位差を $V$ とすると、電荷 $q$ の粒子が1回通過するとき得るエネルギーは：

$$\Delta E = qV$$

$n$ 回通過後の運動エネルギーは：

$$\frac{1}{2}mv_n^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + nqV$$

$v_n$ について解くと：

$$v_n = \sqrt{v_0^2 + \frac{2nqV}{m}}$$

このときの円軌道の半径は $r = mv/(qB)$ より：

$$r_n = \frac{mv_n}{qB} = \frac{m}{qB}\sqrt{v_0^2 + \frac{2nqV}{m}}$$

補足：サイクロトロンの限界（相対論的効果）

粒子の速さが光速に近づくと、相対論的質量増加により周期 $T = 2\pi m/(qB)$ が一定でなくなり、同期がずれます。これを解決するのがシンクロサイクロトロン（周波数を徐々に変える）やシンクロトロン（磁場も変える）です。